81856 - GEOMETRIA 1B

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha approfondito la conoscenza dei concetti fondamentali dell'algebra lineare visti in Geometria 1A; è capace di diagonalizzare un endomorfismo e conosce la forma di Jordan. Ha inoltre incontrato le forme bilineari e quadratiche e sa applicare alla risoluzione di problemi geometrici (spazi euclidei, coniche e quadriche).

Contenuti

Endomorfismi. Sottospazi invarianti. Problema della scomposizione di uno spazio in somma diretta di sottospazi invarianti e sua formulazione matriciale.
Il teorema cinese dei resti e la scomposizione associata.

Polinomi di matrici. Il polinomio minimo di un endomorfismo.
Il teorema di Cayley-Hamilton. Autospazi generalizzati. Endomorfismi nilpotenti.
Forma di Jordan di un endomorfismo nilpotente. Esempio di calcolo.
Forma di Jordan di un endomorfismo su un campo algebricamente chiuso. Cenno alla forma canonica razionale.

Forme bilineari. Forme simmetriche e antisimmetriche. Radicale di una forma bilineare. Forme non degeneri.
Spazio ortogonale a un sottospazio e sua dimensione. Matrice associata ad una forma bilineare e alla scelta di una base.
Dipendenza della matrice dalla base scelta. Forme bilineari simmetriche: Esistenza di basi ortogonali. Sottospazi isotropi.
Forme bilineari sul campo reale e sul campo complesso. Teorema di Sylvester.

Prodotti scalari in campo reale. Basi ortogonali. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Sua formulazione in termini di fattorizzazione di matrici invertibili.

Trasposta di una applicazione lineare. Endomorfismi simmetrici. Teorema spettrale.

Applicazioni alla geometria analitica: Trasformazioni affini del piano e dello spazio, isometrie, proiezioni ortogonali.
Coniche e quadriche nel piano e nello spazio, classificazione affine.

Testi/Bibliografia

M. Manetti. Algebra Lineare per Matematici. 

http://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/AL2017/algebralineare2017.pdf

 

S. Lang. Algebra Lineare. Bollati Boringhieri

Metodi didattici

Lezioni orali alla lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame consistente in una prova scritta e in una prova orale.

La prova scritta e` suddivisa in una sezione con domande a scelta multipla e 3 esercizi da risolvere.
Gli esercizi vengono corretti solo se si e' risposto correttamente alle domande a scelta multipla.

Si e' ammessi all'esame orale solo se lo scritto risulta sufficiente. Il voto nello scritto vale solo per l'appello a cui si riferisce. La correzione di ogni scritto sara' consultabile sulla pagina web dei docenti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Migliorini

Consulta il sito web di Nicoletta Cantarini