81855 - GEOMETRIA 1A

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha la conoscenza dei primi concetti fondamentali dell'algebra lineare (matrici, sistemi lineari, spazi vettoriali, applicazioni lineari), e sa applicare tali conoscenze alla soluzione di problemi di geometria analitica.

Contenuti

Esempi di campi. Il campo razionale, il campo reale, il campo complesso, cenno ai campi finiti. Nozione di spazio vettoriale su un campo. 

Esempi di spazi vettoriali: lo spazio numerico K^n, lo spazio delle matrici, lo spazio dei polinomi a coefficienti in un campo. Lo spazio delle funzioni su un insieme a valori in un campo. 

Alcune conseguenze elementari
degli assiomi di spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali: intersezione di sottospazi vettoriali, somma di sottospazi vettoriali.
Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Quoziente di uno spazio vettoriale per un sottospazio.

Combinazioni lineari di vettori. Sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Lineare dipendenza e indipendenza.
Generatori di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Basi di uno spazio vettoriale.

Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esistenza di una base in uno spazio vettoriale.
Teorema di completamento della base. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'.
Formula di Grassmann. Somma diretta di Sottospazi. Dimensione del quoziente.

Applicazioni lineari.  Caso particolare: lo spazio duale. Esempi di applicazioni lineari. Applicazione lineare tra spazi numerici associata a una matrice. Somma e prodotto per uno scalare di applicazioni lineari. L'insieme delle applicazioni lineari e' in modo naturale uno spazio vettoriale. La composizione di applicazioni lineari e' lineare.

Prodotto di matrici. Riduzione di Gauss.  Operazioni elementari come prodotti con matrici particolari.

Isomorfismi di spazi vettoriali. Costruzione di alcuni isomorfismi di spazi vettoriali. Due spazi (sullo stesso campo) di uguale dimensione sono isomorfi.

Una applicazione e' unicamente determinata dai valori che prende su una base. Dimensione dello spazio delle applicazioni lineari.

Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Isomorfismo V/Ker= Im. Retroimmagine di un vettore per una applicazione lineare.
Matrice associata ad una applicazione lineare e ad una scelta di basi.
Sue proprieta'. Dipendenza dalla scelta delle basi. Matrice della composizione di applicazioni lineari.

Determinazione di nucleo e immagine di applicazioni lineari associate a matrici.
Matrici invertibili. Applicazioni della teoria fin qui svolta ai sistemi lineari.
Rango di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli.

Determinante di una matrice quadrata. Caratterizzazione, calcolo, comportamento per operazioni elementari su righe e colonne.
Teorema di Binet. Sviluppo di Laplace del determinante. Caratterizzazione delle matrici invertibili. Formula di Cramer per la risoluzione di sistemi quadrati.

Autovalori  e autovettori di un endomorfismo. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un endomorfismo. Condizione di diagonalizzabilita’.

Testi/Bibliografia

M. Manetti. Algebra Lineare per Matematici.

http://www1.mat.uniroma1.it/people/manetti/AL2017/algebralineare2017.pdf

 

S. Lang. Algebra Lineare. Bollati Boringhieri

Metodi didattici

Lezioni orali alla lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame consistente in una prova scritta e in una prova orale.

La prova scritta e` suddivisa in una sezione con domande a scelta multipla e 3 esercizi da risolvere.
Gli esercizi vengono corretti solo se si e' risposto correttamente alle domande a scelta multipla.


Si e' ammessi all'esame orale solo se lo scritto risulta sufficiente. Il voto nello scritto vale solo per l'appello a cui si riferisce. La correzione di ogni scritto sara' consultabile sulla pagina web dei docenti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Migliorini

Consulta il sito web di Nicoletta Cantarini