28368 - ALGEBRA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha le conoscenze di base dell'algebra avanzata, individuandola come scienza centrale utile e creativa. Conosce le strutture fondamentali: i gruppi gli anelli e i campi. Sa applicare tali conoscenze alle altre discipline matematiche. Sa contribuire alla formalizzazione matematica dei problemi posti dalle scienze applicate, e dei problemi pratici. Possiede capacità di analisi e di sintesi.

Contenuti

Richiami di teoria dei gruppi.

Anelli commutativi: 0-divisori, elementi nilpotenti, unità. Domini, campi. Morfismi di anelli; il morfismo fondamentale da Z ad un anello; la caratteristica. Ideali e anelli quoziente; ideale generato da un sottoinsieme. La fattorizzazione di un morfismo di anelli. I teoremi di omomorfismi. Il campo delle frazioni di un dominio; estensioni quadratiche di un anello.

Divisibilità in un anello. Elementi primi e irriducibili. Domini euclidei, a ideali principali, a fattorizzazione unica. L'anello degli interi di Gauss Z[i]. Gli elementi primi di Z[i]: interi che sono somma di due quadrati e terne pitagoriche

L'anello dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un anello, funzioni polinomiali, grado di un polinomio e sue proprieta', se A e' un dominio (a fattorizzazione unica) anche A[x] lo e'. Polinomi a coefficienti in un campo: zeri e fattori lineari; il lemma di divisione e le sue conseguenze . Il teorema fondamentale dell'algebra. La derivata di un polinomio, molteplicità di una radice. Polinomi reali. Il lemma di Gauss

Quozienti di K[X]; forma ridotta. Estensioni di campi; elementi algebrici e trascendenti; polinomio minimo; il sottocampo K(u) di un campo F generato dal sottocampo K di F e dall'elemento u. Il grado di una estensione finita; ogni elemento di una estensione finita è algebrico; il grado della composizione di due estensioni finite; l'insieme dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Campo di spezzamento: esistenza e unicità. Esistenza e unicità del campo con p^n elementi; questi sono gli unici campi finiti.

Il teorema dell'elemento primitivo. Automorfismi di campi, campi intermedi in un'estensione, gruppo di Galois di un'estensione. La corrispondenza di Galois.

Testi/Bibliografia

I.N. Herstein: Algebra, Editori Riuniti, 2010

A.Vistoli: Note di Algebra. Bologna 1993/94

M.Artin: Algebra. Bollati Boringhieri 1997.

E.Bedocchi: Esercizi di Algebra. Pitagora Editrice, Bologna 1995/96

F. Caselli, note di algebra 2, disponibili online

Metodi didattici

Lezioni tradizionali alla lavagna ed esercitazioni

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame finale è sia scritto che orale. Il compito scritto consiste in alcuni esercizi in cui si dimostra di saper utilizzare gli strumenti acquisiti durante il corso. La prova scritta viene superata riportando una votazione minima di 15/30 e consente di poter sostenere l'esame orale, il quale consiste in una discussione sullo scritto e in domande che tendono ad accertare la conoscenza teorica dei contenuti del corso e la capacità di ragionare su argomenti inerenti al corso. La prova orale può essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta o nell'appello successivo, anche se quest'ultima si svolge in un'altra sessione.

Orario di ricevimento

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