27213 - ANALISI MATEMATICA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce conoscenze matematiche di carattere più informativo, utilizzando un'ampia strumentazione di base per affrontare la descrizione di fenomeni fisici diversi. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; calcolare semplici integrali di funzioni in piu' variabili; calcolare semplici integrali di funzioni definite su superfici. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: - risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; - studiare la convergenza di integrali in piu' variabili; - calcolare integrali superficiali.

Contenuti

 

• Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
  
  • Elementi di topologia negli spazi metrici.
  • Funzioni da R^n in R^m. Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
  • Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Differenziale. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
  • Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.
• Applicazioni del calcolo differenziale:
  • Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Teorema di Sylvester. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.
  • Varietà regolari in forma implicita Spazio normale e spazio tangente. Teorema del Dini e parametrizzazione locale di una varietà. Massimi e minimi vincolati. Teorema di Fermat per estremanti condizionati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
• Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.
  
• Curve in forma parametrica ed integrali curvilinei: curve regolari e regolari a tratti, orientamento. Integrali curvilinei su curve non orientate (lunghezza, massa, baricentro, momenti di inerzia di un filo), Forme differenziali e campi vettoriali. Integrale curvilineo di una forma differenziale e lavoro. Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi. Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. Potenziale di un campo vettoriale. Lemma di Poincarè.
• Superfici in forma parametrica ed integrali di superficie Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Orientamento. Area di una superficie e integrali di funzioni scalari su superfici non orientate (massa, baricentro, momenti di inerzia). Superfici regolari con bordo. Orientamento canonicamente indotto sul bordo. Superfici regolari a tratti. Teorema di Stokes o del rotore. Teorema della divergenza o di Gauss.
  

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)

Saranno fornite dispense per gli argomenti svolti a lezioni e non presenti nel libro di testo.

Per approfondimenti:

E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Boringhieri)

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Zanichelli);

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa (Boringhieri);

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Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta. La prova d’esame consiste in esercizi e domande di teoria relativi al programma svolto.

Le due parti dell'esame vanno svolte nello stesso appello (altrimenti vi dimenticate come si risolvono gli esercizi ....).

Le date degli appelli sono pubblicate su Almaesami e sul sito del corso di studi.

Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.

E' obbligatoria l’iscrizione su Almaesami ad entrambe le prove.

Esami in presenza: è proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa. E’ vietato l’uso di calcolatrici grafiche e programmabili.

 

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Parte 1 (durata 2 h): Gli esercizi sono formulati come quiz a risposta multipla e a risposta guidata.  Lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile.

La prova consiste in 4 esercizi a risposta multipla (volume, massimi e minimi liberi, estremanti condizionati, calcolo differenziale su varietà) e 1 esercizio a risposta guidata (flusso). Testi tipo di alcune prove d'esame sono distribuiti e lezione e pubblicati su Virtuale.

Ciascun esercizio a risposta multipla vale: +3 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.25 (risposta errata)

L'esercizio a risposta guidata vale da 0 (risposta non data o completamente errata) a 6 (risposta corretta e completa) 

Il voto di questa parte è pubblicato su Almaesami. Sono ammessi alla seconda parte gli studenti che abbiano totalizzato almeno 7/18. 

Lo studente che non è soddisfatto del risultato di questa parte della prova può ritirarsi dall'appello e  può ripeterà l'esame in uno degli appelli successivi.

 

Parte 2 (durata 1h):  Si svolge circa una settimana dopo la prima parte. Lo studente deve risolvere per esteso uno degli esercizi a test della prima parte e  rispondere a due quesiti di teoria relativi al programma svolto. Ciascun quesito teorico è corredato di una traccia con l’elenco di massima delle definizioni e teoremi relativi a ciascun argomento. Durante questa parte della prova lo studente non può consultare alcun libro di testo né i propri appunti.

Ciascun quesito vale da: -3 (risposta non data o fuori tema, file illeggibile) a +7 (risposta esauriente e ben motivata)

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Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle due parti della prova. I punteggi superiori a 30 sono registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione della prova di teoria viene pubblicato il voto finale su Almaesami, ne viene data comunicazione via mail agli studenti che hanno sostenuto l'esame assieme alla data in cui saranno firmati i verbali.

E’ possibile rifiutare il voto solo una volta. Lo studente che intende rifiutare il voto deve darne comunicazione via mail alla docente entro la data comunicata per la verbalizzazione. Chi rifiuta il voto, ripete la prova completa (esercizi+teoria) in un appello successivo di sua scelta.

 

Strumenti a supporto della didattica

Su Virtuale saranno pubblicati gli screen shot delle lezioni e alcuni testi e svolgimenti di prove d'esame.

Si incoraggia gli studenti a prendere appunti mentre seguono le lezioni, a rivederli e studiarli di volta in volta, a integrarli confrontandoli con libri di testo, a svolgere esercizi in autonomia.

Gli studenti sono fortemente incoraggiati a porre domande alla docente durante le lezioni oltre che nei ricevimenti studenti. Infatti il principale supporto alla didattica è la partecipazione attiva alle lezioni da parte degli studenti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda