65934 - ISTITUZIONI DI MATEMATICA 2

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce gli strumenti di base del calcolo differenziale a più variabili ed è in grado di risolvere alcuni tipi di Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) e di sistemi di EDO. Ha inoltre conoscenza delle basi probabilistiche e statistiche per analizzare dati ed è in grado di studiare il comportamento di campioni di una variabile aleatoria.

Contenuti

Prima parte del corso

Sviluppi in serie. Breve richiamo allo sviluppo in serie di Taylor di funzioni di una variabile e breve introduzione allo sviluppo in serie di Fourier.

Funzioni di più variabili. Dominio e immagine. Grafici e curve di livello per funzioni di due variabili. Grafici e superfici di livello per funzioni di tre variabili. Limiti e continuità. Funzioni polinomiali e razionali.

Derivate parziali. Definizione ed interpretazione geometrica delle derivate parziali. Differenziabilità, piano tangente e sviluppo in serie per funzioni di due variabili. Derivate direzionali. Gradiente. Punti critici o stazionari. Massimi e minimi locali. Punti sella. Richiamo su determinante e traccia di una matrice. Richiamo su autovalori, autovettori e matrici definite di segno. Definizione della matrice hessiana. Test su matrice hessiana per classificare i punti critici. 

Campi vettoriali. Conservatività di un campo e potenziale. Verifica dell’esistenza del potenziale di un campo di forze. Calcolo del potenziale per un campo conservativo. Integrali di linea di campi vettoriali. Divergenza e rotore, e loro significato. Derivata temporali parziale, totale e materiale. Cenno all'equazione di continuità ed ai punti di vista euleriano e lagrangiano in fluidodinamica.

Equazioni differenziali alle derivate ordinarie. Crescita e decadimento esponenziali. Equazioni del primo ordine. Problema ai valori iniziali. Verifica delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del primo ordine lineari e tecnica generale per la loro soluzione. Cenni al modello di crescita logistica. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine. Cenni alla soluzione di equazioni lineari del secondo ordine non omogenee.

Modelli ad un compartimento. Introduzione ai modelli ad un compartimento; tasso relativo e tasso assoluto; tasso di assorbimento e tasso di eliminazione.

Sistemi di equazioni differenziali alle derivate ordinarie. Metodo di riduzione e metodo delle matrici. Traiettorie. Punti di equilibrio. Stabilità dell’origine. Sistemi di due equazioni non lineari: linearizzazione attorno ad un punto di equilibrio e discussione della stabilità. Modello di crescita logistica per la coesistenza di due specie. Modello preda/predatore di Lotka-Volterra con discussione ed interpretazione della stabilità.

Seconda parte del corso

Statistica descrittiva. Introduzione alla statistica. Campioni e popolazioni. Rappresentazione grafica dei dati raccolti. Grandezze che sintetizzano i dati: media, mediana, moda campionarie; quartili e percentili; varianza e deviazione standard campionarie; coefficienti di asimmetria. Box-plot. Insiemi di dati bivariati, diagramma di dispersione. Correlazione. Regressione lineare - metodo dei minimi quadrati.

Teoria della probabilità. Spazio degli eventi, eventi. Eventi incompatibili. Assiomi di Kolmogorov. Spazi equiprobabili. Partizioni. Probabilità condizionata e Teorema di Bayes (cenno). Variabili casuali. Legge di distribuzione di probabilità. Funzione di ripartizione. Funzione densità di probabilità. Valore medio e varianza. Esperimento di Bernoulli e distribuzione binomiale. Leggi di distribuzione di Poisson, esponenziale, normale (e normale standardizzata), chi-quadrato, t di Student.

Distribuzioni delle statistiche campionarie. Introduzione alla inferenza statistica. Media e varianza della media campionaria. Teorema del limite centrale. Correzione di continuità. Valore medio della varianza campionaria. Distribuzione congiunta della media e della varianza campionarie.

Stime parametriche. Stimatori e stime. Intervalli di confidenza bilateri ed unilateri.

Test di ipotesi. Ipotesi nulla ed alternativa. Errori di prima e seconda specie. Livello di significatività e p-dei-dati. Regione critica. Test unilateri e bilateri. Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota (Z test). Test su popolazioni non normali. Test su popolazioni con media e varianza incognita (t test). Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza incognita.

 

Testi/Bibliografia

Materiale didattico fornito dal docente (slides e fogli di esercizi relativi agli argomenti trattati).

Per ulteriore approfondimento, si riporta di seguito una lista di testi ausiliari di possibile consultazione:

• J. Stewart, Calculus - Early Trascendentals, 8th Edition, Cencage Learning, 2016
• C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, II Edizione, Zanichelli, 2016
• S. M. Ross, Probabilità e Statistica per l'Ingegneria e le Scienze, II Edizione, Apogeo (2008)

Metodi didattici

Le lezioni sono impostate in modo da mettere in risalto gli aspetti applicativi della materia, in particolare nel campo di applicazione di maggiore interesse per il corso di studi in Scienze Ambientali.

Gli argomenti vengono presentati con numerosi esempi ed esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta composta da esercizi su ciascuna delle due parte del corso, oltre che di una o due domande di carattere più teorico. La durata della prova è di due ore.

Tutti gli esercizi sono confrontabili (per tipologia e per livello di difficoltà) con quelli svolti durante le esercitazioni in aula e con gli esercizi supplementari resi disponibili dal docente durante il corso.

Strumenti a supporto della didattica

Slides ed altro materiale fornito in formato elettronico (fogli di esercizi, ecc. )

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Silvia Tozza