27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili.

Contenuti

LO SPAZIO EUCLIDEO R^n. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Limite di una funzione. Funzioni continue. I teoremi di Weierstrass, degli zeri, di Bolzano e di Heine-Cantor per funzioni di più variabili. Derivata parziale e derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1. Matrice jacobiana. Differenziabilità di una funzione composta.

Derivate parziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi liberi e vincolati.

INTEGRALI CURVILINEI

Curve. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Integrale curvilineo di una funzione.
Campi vettoriali: definizione. Campi vettoriali conservativi e irrotazionali. Lavoro di un campo.

INTEGRALI DOPPI E TRIPLI

Domini normali. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di superficie. Il teorema della divergenza e di Stokes.

SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

Serie numeriche: definizione, convergenza, convergenza assoluta. Criteri di convergenza.

Serie di potenze, di Taylor e di Fourier: definizioni e principali proprietà.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Il problema di Cauchy. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità.

Testi/Bibliografia

C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Zanichelli);

W. Rudin: Analisi Reale e Complessa (Boringhieri);

E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Boringhieri).

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Matematica volume 2 (Zanichelli);

Marcellini Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Secondo volume (Liguori Editore);

M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012).

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula. Materiale complementare al corso sarà disponibile su AMS Campus

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per poter sostenere ad ogni esame è obbligatorio iscriversi alle liste pubblicate su AlmaEsami. La mancata iscrizione alle suddette liste determina l'esclusione del candidato dall'esame.

Appello d'esame. La prova d'esame finale consiste in una prova scritta (suddivisa in due parti, A e B, tra loro propedeutiche) e una orale-scritta (suddivisa in due parti, C e D, tra loro propedeutiche). La prova prova scritta (A+B) ha una durata complessiva di 2 ore; ad essa si accede previa iscrizione alle liste aperte su AlmaEsami dal docente. Superano la prova A gli studenti che ottengono almeno 4 punti su 9. Per gli studenti che non superano la prova A non si procederà alla correzione della prova B. Tali studenti dovranno ripetere l'esame dall'inizio. Si considera superata la prova B se il candidato realizza almeno 6 punti su 10. Il non superamento della parte B determina la decadenza della validità del punteggio positivo della prova A. Gli studenti che studenti che non superano la prova B dovranno ripetere l'esame dall'inizio.

Gli studenti che superano entrambe le prove (A e B) sono ammessi alle successive fasi (orale-scritta) e possono iscriversi alle liste di AlmaEsami pubblicate dal docente denominate C e D. Le prove C e D ("orale-scritta") sono così organizzate: la prova C, della durata di 45 minuti e del valore complessivo di 5 punti, è somministrata dal docente su un testo scritto articolato su tre quesiti. Il candidato è tenuto a svolgerla per iscritto. Al termine della prova C, se la somma dei punteggi realizzati nelle prove A, B e C è maggiore o uguale a 15, il candidato sarà ammesso alla fase D che avrà luogo immediatamente dopo sotto forma di un breve colloquio (con la commissione) svolto (dal candidato) alla lavagna sui contenuti del corso. Potranno inoltre essere richiesti ulteriori chiarimenti sulle prove A,B, C svolte dl candidato.

Nel caso in cui la somma dei punteggi delle prove A, B e C sia inferiore a 15 lo studente non è ammesso alla fase D e decade il valore di tutte le precedenti prove A e B le quali dovranno essere quindi ripetute in altri appelli.

La valutazione della fase D varia da -6 punti a +6 punti.

Il voto finale dell'esame è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle prove A, B, C, D.

Nel caso in cui il punteggio così ottenuto sia inferiore a 18, lo studente è respinto e deve ripetere l'esame dall'inizio essendo decaduta la validità di ciascuna delle prove A,B,C e D.

Le eventuali lodi sono attribuibili, a discrezione della commissione, nei soli casi in cui, sommando i punteggi delle prove A, B, C, D, si ottenga un punteggio maggiore o uguale a 28 e soltanto dopo che il candidato avrà risposto correttamente ad un'ulteriore domanda formulata nella fase D.

La validità del punteggio delle prove A e B, se entrambe positive, è limitato alla sola sessione d'esami d'esami in cui sono state sostenute per cui non hanno validità per eventuali appelli appartenenti a sessioni d'esami poste al termine del ciclo successivo.

Esempio di prova A+B

Esempio di prova C

 

Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico eventualmente messo a disposizione dai docenti sulla piattaforma AMS Campus . Eventuale tutoraggio (qualora assegnato)

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fausto Ferrari

Consulta il sito web di Alberto Parmeggiani