37643 - ANALISI MATEMATICA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, una volta superata la prova di verifica finale, lo studente dovrebbe possedere le conoscenze di base relative all’analisi ed in particolare alle funzioni di una variabile reale: proprietà di tali funzioni, lettura ed interpretazione di grafici, derivate, integrali e loro significato, approssimazione delle stesse.

Contenuti

 

• Premesse: N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Dominio e condominio di una funzione, funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, funzione inversa, funzione composta. Densità di Q in R. Funzioni elementari (funzione ad esponente intero, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, funzioni circolari ed inverse, funzioni iperboliche, funzione valore assoluto).
• Numeri complessi Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici(*), equazioni algebriche in campo complesso.
• Limiti Intorni, punti di accumulazione. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro. Proprietà del limite: unicità, località, locale limitatezza; proprietà algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau. Limiti notevoli (*).
• Continuità Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri (*), teorema su invertibilità e monotonia, teorema di continuità della funzione inversa.
• Derivazione e applicazioni Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni(*), regola di Leibniz(*), derivata della funzione reciproca(*), derivata della funzione inversa(*), derivata della funzione composta. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle(*), teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti(*), primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata(*). Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nei casi n=1 e n=2), proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), cosh(x)(*),senh(x)(*), (1+x)^a(*), 1/(1-x) (*), 1/(1+x)(*), 1/(1-x^2)(*), 1/(1+x^2)*, log(1+x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate. Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari(*), condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale(*), punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.
• Integrazione e applicazioni Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Classificazione delle funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale(*). Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue(*). Regola di Torricelli(*). Teorema di integrazione per parti (*) e teorema di integrazione per sostituzione(*). Integrazione delle funzioni razionali. Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. Sommabilità di 1/x^a(*).
• Equazioni differenziali Introduzione, problema di Cauchy e principio di causalità. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di ordine n: esistenza e regolarità globali delle soluzioni, principio di sovrapposizione delle soluzioni (*), caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, teorema del Wronskiano (con dimostrazione nel caso n=2). Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti e termine noto continui: esistenza e regolarità globali, integrale generale. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del I ordine: y'=a(t)y+b(t). Metodi per la ricerca dell'integrale particolare di un'equazione differenziale lineare non omogenea: metodo per simpatia (lineare omogenea a cofficienti costanti, termine noto del tipo exp(at), t^k, cos(bt), sin(ct)) e metodo di variazione delle costanti (caso n=2(*)).
  Equazioni differenziali a variabili separabili: risoluzione del problema di Cauchy.

 

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)

Metodi didattici

lezioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello.

Nella prima parte lo studente risolve esercizi a risposta multipla e guidata.
Nella seconda parte svolge per esteso uno degli esercizi a risposta guidata del proprio compito e risposnde a due quesiti di teoria.

Il punteggio finale è la somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle due parti e viene pubblicato su Almaesami.

I punteggi dei singoli esercizi e le soglie di ammissione sono pubblicate anche sulla mia pagina web docente.
Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.
Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti dell'esame.

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Informazioni dettagliate sulla modalità dell'esame

Parte A (durata 2 ore 30 minuti): Consiste in esercizi a risposta multipla ed a risposta guidata. Durante la parte A, lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile. E' vietato l'uso di qualunque altro dispositivo elettronico. Il punteggio massimo di questa prova è 16. Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione (indicativamente 6.1/16) è ammesso alla parte B.

Gli esercizi a risposta multipla valgono: +2 (risposta corretta), 0m (risposta non data) -0.5 (risposta errata)

Esercizio a risposta guidata: da 0 a 4.

Parte B (durata 1 ora). Lo studente può portare con sé solo la penna, svolge per esteso un esercizio a risposta multipla del proprio compito ed espone due argomenti di teoria seguendo la traccia assegnata dalla docente. Il punteggio massimo di questa parte è 21.

Ogni quesito vale da -3 (risposta non data o fuori tema) a 7.

Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi ottenuti nelle due prove. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare i voti validi.

Ulteriori informazioni sulle prove d'esame (compresi i punteggi dei singoli esercizi e il calendario delle prove d'esame) sono disponibili nel sito web docente: http://www.unibo.it/docenti/simonetta.abenda .

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono disponibili su Alma Campus.

Strumenti a supporto della didattica

Gesso e lavagna

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda