27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili.

Contenuti

Sono prerequisiti essenziali del corso la conoscenza di tutti gli argomenti svolti nel corso di Analisi Matematica T1, nonchè di numerosi argomenti svolti nel corso di Geometria e Algebra T (spazi vettoriali, trasformazioni lineari, matrici, determinanti, geometria analitica nel piano e nello spazio).

 

LO SPAZIO EUCLIDEO R^n. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.

LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Definizione di funzione continua e di limite. I teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi per funzioni di più variabili. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1; il differenziale e la matrice jacobiana. Il teorema sulla differenziabiltà di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi per funzioni reali di più variabili reali liberi

INTEGRALE MULTIPLO. Definizione di integrale doppio di Riemann su insiemi limitati e misurabili. Proprietà dell'integrale doppio. I teoremi di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici. Il teorema di cambiamento di variabili. Integrali tripli: estensione delle definizioni e dei teoremi sugli integrali doppi. Cenni sugli integrali doppi generalizzati.

INTEGRALI CURVILINEI E DI SUPERFICIE. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su una curva. L'integrale di un campo vettoriale su una curva orientata. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. Il teorema di Green-Gauss. Superficie regolari e regolari a tratti in R^3, area di una superficie, integrale di una funzione su di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attarverso una superficie orientata. I teoremi della divergenza e di Stokes.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità e prolungabilità. Metodi risolutivi per equazioni non-lineari a variabili separabili e per equazioni lineari del primo ordine. Trasformata di Laplace: proprietà algebriche e differenziali. L'uso della trasformata di Laplace nella risoluzione di equazione differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti

Testi/Bibliografia

Bramanti-Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.

oppure

Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

 

Un libro di esercizi sulle funzioni di più variabili reali, ad esempio:

M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Progetto Leonardo - Esculapio (2012),

oppure

P.Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica Due (prima e Seconda Parte) ed. Zanichelli.

Comunque il materiale fornito su virtuale dovrebbe essere sufficiente per lo studio della parte teorica, probabilmente non per quella di esercizi.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in aula che illustrano i concetti fondamentali relativi alle proprietà alle funzioni reali di più variabili reali, i campi di vettori in R^n e alle equazioni differenziali non lineari. Le lezioni sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre vengono svolti numerosi esercizi in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La preparazione degli studenti sarà verificata tramite una prova di esercizi ed una teorica da svolgersi in sequenza.

Lo studente dovrà svolgere prima la prova di esercizi e, se riporterà una votazione pari o superiore a 16 sarà ammesso alla prova di teoria. 

La   prova teorica sarà volta alla verifica della comprensione delle definizioni e dei teoremi del corso e delle loro dimostrazioni.  Con l'esame teorico lo studente potrà alzare il voto complessivo al massimo di 6 punti ma potrà anche abbassarlo o essere bocciato.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato).

Link ad altre eventuali informazioni

https://virtuale.unibo.it/course 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Matteo Franca [https://www.unibo.it/sitoweb/matteo.franca4]

 

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Matteo Franca

Consulta il sito web di Serena Federico