28622 - ANALISI MATEMATICA T-A

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi matematica, con particolare riguardo alle funzioni di una variabile reale, al fine di saper utilizzare tali conoscenze per interpretare e descrivere i problemi dell'ingegneria.

Contenuti

• Premesse:

1. N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Densità di Q in R.
2. Dominio e condominio di una funzione, funzioni, grafico, iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, funzione inversa, funzione composta.
3. Funzioni elementari (funzione ad esponente intero, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, funzioni circolari ed inverse, funzioni iperboliche, funzione valore assoluto).

• Numeri complessi Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici(*), equazioni algebriche in campo complesso.
• Limiti

1. Intorni, punti di accumulazione.
2. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro.
3. Proprietà del limite: unicità, località, locale limitatezza; proprietà algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone.
4. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau.
5. Limiti notevoli (*).

• Continuità

1. Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno.
2. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri (*), teorema su invertibilità e monotonia, teorema di continuità della funzione inversa.

• Derivazione e applicazioni

1. Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari.
2. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni(*), regola di Leibniz(*), derivata della funzione reciproca(*), derivata della funzione inversa(*), derivata della funzione composta.
3. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle(*), teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti(*), primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata(*). Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate.
4. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda.
5. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n(*), formula di Taylor con il resto di Peano (dimostrazione nei casi n=1 e n=2), proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x) (*), cos(x) (*), sin(x) (*), cosh(x)(*),senh(x)(*), (1+x)^a(*), 1/(1-x) (*), 1/(1+x)(*), 1/(1-x^2)(*), 1/(1+x^2)*, log(1+x) (*), applicazione ai limiti di forme indeterminate.
6. Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari(*), condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale(*), punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.

• Integrazione e applicazioni

1. Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività.
2. Classificazione delle funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale(*).
3. Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue(*). Regola di Torricelli(*). Teorema di integrazione per parti (*) e teorema di integrazione per sostituzione(*).
4. Integrazione delle funzioni razionali.
5. Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. Sommabilità di 1/x^a(*).

 

Testi/Bibliografia

Testi/BibliografiaTesti/Bibliografia

M.Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa : Analisi Matematica 1 (Zanichelli)

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta e consta di due parti da sostenere nello stesso appello.

Nella prima parte lo studente risolve esercizi a risposta multipla e guidata.
Nella seconda parte svolge per esteso uno degli esercizi a risposta multipla del proprio compito e risponde a due quesiti di teoria.

E' proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa.

Il punteggio finale è la media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due parti e viene pubblicato su Almaesami.

Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli.

Le date degli esami sono pubblicate su Almaesami.

E' obbligatoria l'iscrizione su Almaesami ad entrambe le parti dell'esame.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Informazioni dettagliate sulla modalità dell'esame

Parte A (durata 2 ore ): Consiste in esercizi a risposta multipla ed a risposta guidata. Durante la parte A, lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e non può utilizzare nessun tipo di calcolatrice . E' vietato l'uso di qualunque altro dispositivo elettronico. Il punteggio massimo di questa prova è 30. Lo studente che raggiunge la soglia di ammissione 18/30 è ammesso alla parte B.

Gli esercizi a risposta multipla valgono: +5 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -1 (risposta errata)

Esercizio a risposta guidata: da 0 a 10.

Parte B (durata 1 ora). Lo studente può portare con sé solo la penna, espone due argomenti di teoria seguendo la traccia assegnata dalla docente. Il punteggio massimo di questa parte è 30.

Ogni quesito vale da 0 (risposta non data o fuori tema) a 15.

Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due prove. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare tutti i voti validi.

Per rifiutare il voto è necessario partecipare alla visione compiti e comunicarlo verbalmente il giorno stesso della visione compiti.

Calendario delle prove d'esame: è pubblicato su Almaesami e visibile alla pagina web del Corso di Studi dedicata agli appelli d'esame.

I testi tipo di alcune prove d'esame parte A sono distribuiti e lezione e pubblicati negli spazi virtuali del corso.

Strumenti a supporto della didattica

I testi di alcune prove d'esame della parte A sono disponibili sulla piattaforma digitale del corso

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Cataldo Grammatico [https://www.unibo.it/sitoweb/cataldo.grammatico]

Orario di ricevimento

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