94498 - TOPOLOGIA COMPUTAZIONALE

Conoscenze e abilità da conseguire

Deve conoscere i concetti di complesso simpliciale astratto, complesso simpliciale geometrico, complesso di Čech, complesso di Vietoris-Rips, complesso di Delaunay, alfa-complesso, gruppi di omologia e di coomologia simpliciale a coefficienti in Z_2 e loro principali proprietà, elementi di analisi topologica dei dati (gruppi di omologia persistente, diagrammi di persistenza, pseudo-distanza naturale rispetto a un dato gruppo di omeomorfismi, operatori equivarianti non-espansivi). Deve saper calcolare i gruppi di omologia e coomologia a coefficienti in Z_2 di piccoli complessi simpliciali, diagrammi di persistenza di funzioni, limitazioni inferiori per la pseudo-distanza naturale rispetto a dato un gruppo di omeomorfismi.

Contenuti

Combinazioni e inviluppi affini e convessi. Simplessi. Complessi simpliciali geometrici. Complessi simpliciali astratti finiti. Isomorfismi fra complessi simpliciali astratti finiti. Schemi di vertici e realizzazioni geometriche. Teorema di realizzazione geometrica dei complessi simpliciali astratti finiti.

Caratteristica di Eulero.

Coordinate baricentriche. Mappe di vertici, applicazioni simpliciali, mappe PL.

Suddivisioni di complessi simpliciali geometrici. Suddivisioni baricentriche. Lemma della maglia e suo corollario.

Approssimazioni simpliciali. Lebesgue's number lemma. Lemma del simplesso. Teorema di approssimazione simpliciale. Teorema di approssimazione simpliciale in forma metrica.

Nervo e teorema del nervo. Complessi di Čech e di Vietoris-Rips.

Concetto di minipalla. Esistenza e unicità della minipalla di un compatto. Lemma di Vietoris-Rips e sua ottimalità. Diagramma di Voronoi. Complesso di Delaunay e sue principali proprietà. Alfa-complessi e loro principali proprietà.

Gruppo delle p-catene. Operatore bordo e lemma fondamentale dell'omologia. Complessi di catene. Gruppi di omologia di un complesso di catene. Formula per il calcolo dei numeri di Betti. Calcolo di basi per i gruppi dei cicli, i gruppi dei bordi e i gruppi di omologia.

Teorema di Eulero-Poincaré.

Omologia ridotta.

Mappe di catene e omomorfismi indotti fra i gruppi di omologia. Mappe di catene indotte da applicazioni simpliciali.

Definizione di categoria. Funtori. Il funtore di omologia. Collassabilità. Invarianza dei gruppi di omologia per collassi elementari.

Omologia relativa. Calcolo dei gruppi di omologia relativa. Teorema di escissione.

Successioni esatte di complessi di catene e mappe di catene. Snake Lemma. Successione esatta di una coppia e successione esatta di Mayer-Vietoris come conseguenze dello Snake Lemma. Omologia ridotta di S^n.

Duale di uno spazio vettoriale e duale di un omomorfismo tra spazi vettoriali. Cocatene. Operatore cobordo algebrico. Cocicli, cobordi. Gruppi di coomologia. Operatore cobordo geometrico. Coomologia simpliciale ridotta. Calcolo della coomologia simpliciale mediante i ranghi delle matrici cobordo. Enunciato del teorema di dualità di Poincaré. Caratteristica di Eulero e dualità di Poincaré. Dualità di Lefschetz. Grafi di Reeb.

Gruppi topologici. Se X è uno spazio metrico compatto Homeo(X) è un gruppo topologico che agisce con continuità su C^0(X,R). Definizione di pseudo-distanza naturale associata a un sottogruppo G di Homeo(X). Principali proprietà della pseudo-distanza naturale rispetto al gruppo Homeo(X). Cenni all'omologia singolare a coefficienti in Z_2.

Omologia persistente e diagrammi di persistenza.

Operatori equivarianti non espansivi.

Testi/Bibliografia

H. Edelsbrunner and J.L. Harer, Computational topology: An introduction, American Mathematical Society, 2010.

Metodi didattici

Lezione tradizionale.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta (esercizi) e prova orale.

Strumenti a supporto della didattica

Si veda la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/DIDMAT.shtml

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~frosini/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Patrizio Frosini