B9077 - METODI AVANZATI DI ANALISI NUMERICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede nozioni avanzate di analisi numerica. In particolare, per una vasta classe di problemi che emergono nelle applicazioni, è in grado di derivare metodi numerici e analizzarne le proprietà teoriche e computazionali.

Contenuti

Le equazioni alle derivate parziali (PDEs) sono il linguaggio con cui vengono rappresentati mediante modelli matematici molti fenomeni continui, quali la diffusione, le onde, l'elasticità, i fluidi, ecc. Ma per passare dalla formulazione matematica a una simulazione numerica, servono strumenti rigorosi che uniscano analisi funzionale, approssimazione e algebra lineare numerica. Questo corso si concentra sui fondamenti teorici dell'analisi numerica di PDEs: dalla formulazione variazionale ai metodi agli elementi finiti, dallo studio degli spazi di Sobolev all'analisi dell'errore, dalla rappresentazione del problema discreto alla affidabilità teorica e computazionale nella risoluzione del problema algebrico associato. Il corso è pensato per studenti interessati a una comprensione teorica e strutturata dei metodi numerici per PDEs, con l'obiettivo di fornire solide basi in argomenti rilevanti e all'avanguardia nell'ambito della matematica applicata.

Programma

Modulo 1 (M. Ruggeri): Analisi numerica delle PDEs.

• Richiami di PDEs ellittiche (problema di Poisson e sue minime generalizzazioni), richiami di analisi funzionale (spazi di Sobolev, Lax Milgram, ...) finalizzati alla formulazione variazionale di problemi ellittici.
• Teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: lemma di Deny-Lions e lemma di Bramble-Hilbert, interpolazione di Lagrange ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev.
• Metodo degli elementi finiti: metodo di Galerkin per problemi ellittici e stime dell'errore (lemma di Céa), formulazione mista di problemi ellittici e relativa discretizzazione di Galerkin.

Modulo 2 (V. Simoncini): Algebra lineare numerica.

• Metodi iterativi per sistemi lineari di grandi dimensioni: spazi di Krylov e generalità sui metodi di tipo proiettivo; CG, MINRES, GMRES: derivazione algoritmica e proprietà di convergenza con dipendenza dalla discretizzazione.
• Metodi di accelerazione: strategie di preconditionamento (fattorizzazioni incomplete, Algebraic Multigrid (AMG), operator preconditioning); varianti inesatte e strategie di sketching (randomized numerical linear algebra).
• Equazioni matriciali per equazioni differenziali.

Prerequisiti

Concetti fondamentali acquisiti durante i corsi di analisi matematica e calcolo numerico della laurea triennale, Conoscenze di PDEs e di analisi funzionale sono utili, ma quello che serve verrà fornito dal corso. Conoscenze di base dell'ambiente computazionale MATLAB.

Testi/Bibliografia

Testi di consultazione:

• D. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin: Mixed Finite Element Methods and Applications. Springer, 2013.
• Leszek F. Demkowicz: Mathematical Theory of Finite Elements. SIAM, 2023.
• Alfio Quarteroni, Alberto Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer, 1994.
• Y. Saad: Iterative methods for sparse linear systems. SIAM, 2003.
• G. Strang, G. J. Fix: An analysis of the Finite Element Method. Prentice-Hall Inc., 1973.
• N. Trefethen: Finite difference and Spectral Methods for ordinary and partial differential equations. Available online, 1996.

Metodi didattici

L'attività didattica alternerà lezioni frontali (con lucidi/tavoletta grafica/lavagna) da parte di entrambi i docenti, con applicazioni immediate al computer in ambiente MATLAB con supervisione del docente, in cui gli studenti saranno incoraggiati a implementare quanto appena visto a lezione.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame è costituito da due parti:

1. una prova orale sui contenuti del corso,
2. la presentazione di un articolo scientifico di approfondimento/avanzamento dei contenuti del corso, concordato con i docenti. La presentazione può includere aspetti computazionali, ma non è obbligatorio.

Link ad altre eventuali informazioni

https://www.dm.unibo.it/~simoncin/AN2.html

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Michele Ruggeri

Consulta il sito web di Valeria Simoncini