96730 - COMBINATORIA ALGEBRICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Alla fine del corso, lo studente comprende le rappresentazioni dei gruppi finiti in caratteristica zero; in particolare conosce le rappresentazioni del gruppo simmetrico e le funzioni simmetriche ad esse associate. È in grado di decomporre una rappresentazione in irriducibili e di risolvere vari problemi combinatori e algebrici.

Contenuti

Modulo 1- prof. Moci


Introduzione, esempi di rappresentazioni. Rappresentazione regolare, algebra gruppo. Sottorappresentazioni, morfismi di rappresentazioni. Rappresentazioni semplici e irriducibili. Teorema del complementare e sue conseguenze. Richiami di algebra lineare. Somma diretta e prodotto tensoriale di rappresentazioni. Duale, potenza simmetrica e potenza esterna di una rappresentazione. Rappresentazione sullo spazio degli omomorfismi tra due rappresentazioni.


Carattere di una rappresentazione, invarianza sulle classi di coniugio. Lemma di Schur. Prodotto scalare tra funzioni centrali. Teorema: i caratteri delle rappresentazioni irriducibili sono un sistema ortonormale. Conseguenze: molteplicita' di un irriducibile in una rappresentazione data, criterio di irriducibilita', due rappresentazioni con lo stesso carattere sono isomorfe. Teorema: Ogni irriducibile appare nella rappresentazione regolare con molteplicità uguale alla propria dimensione. Teorema: i caratteri irriducibili formano una base per lo spazio delle funzioni centrali. Conseguenze su numero e dimensione degli irriducibili: esempi.



Rappresentazioni dei gruppi ciclici. Rappresentazioni associate al quoziente per sottogruppi normali; esempio: la rappresentazione segno dei gruppi simmetrici. Rappresentazioni del gruppo simmetrico su 3 e 4 lettere. Teorema: un gruppo e' abeliano se e solo se tutte le sue rappresentazioni irriducubili hanno dimenaione 1. Rappresentazioni irriducibili del prodotto diretto di due gruppi. Teorema: le rappresentazioni irriducibili di un gruppo hanno dimensione minore o uguale all’indice di ogni sottogruppo abeliano. Rappresentazioni dei gruppi diedrali.



Rappresentazione indotta (due definizioni); suo carattere. Esempi. Restrizione, teorema di reciprocità di Frobenius. Elementi integrali su sugli interi e loro proprieta'. Centro dell’algebra gruppo e proprietà dei suoi elementi. Teorema: la dimensione di ogni rappresentazione irriducibile divide l’ordine del gruppo.



Insieme delle partizioni di un intero dato, sua cardinalità e suoi ordinamenti. Diagrammi di Young e loro numerazioni; tabloid. Modulo dei tabloid e modulo di Specht associati ad una partizione. Esempio: il gruppo simmetrico su 3 lettere. Teorema: i moduli di Specht sono irriducibili e a due a due non ismomorfi. I caratteri delle rappresentazioni del gruppo simmetrico hanno valori interi. Morfismi e decomposizioni di moduli di tabloid. Esempio: i gruppi simmetrici su 4 e 5 lettere.



Tableau standard e semistandard, skew tableaux. Tre prodotti: row insertion, sliding, e concatenazione di parole modulo equivalenza di Knuth. Teorema: i tre prodotti suddetti coincidono (senza dimostrazione). Biezione di Robinson–Schensted–Knuth. Teorema: la dimensione del modulo di Specht è uguale al numero di tableau standard su quella partizione. Hook formula (senza dimostrazione). Esempi.



modulo 2- Prof.ssa Morigi




Algebra delle funzioni simmetriche. Cinque sue basi e loro relazioni di ortogonalita' (senza dimostrazione). Trasposizione di una partizione e involuzione da essa indotta. Caratteri dei moduli dei tabloid (senza dimostrazione). Algebra delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici. Teorema: c'e un isomorfismo e isometria tra tale algebra e l'algebra delle funzioni simmetriche (con dimostrazione, modulo i conti precedenti). Corollari: formula combinatoria di decomposizione dei moduli dei tabloid, caratteri dei moduli di Specht.

Grafi. Vertici e lati; grado di un vertice. Grafi semplici. In un grafo, il numero di vertici con grado dispari è pari.
Cammini nei grafi. Grafi connessi. Cammini euleriani. Criteri di Eulero: un grafo connesso ammette un cammino euleriano chiuso se e solo se ogni vertice ha grado pari.
Matrice di adiacenza A(G) di un grafo G. Per ogni intero positivo n, il coefficiente (i,j)-esimo della matrice A(G)ⁿ è uguale al numero di cammini di lunghezza n dal vertice vᵢ al vertice vⱼ. Calcolo di aᵢⱼ utilizzando gli autovettori della matrice A(G). Conteggio dei cammini chiusi di lunghezza n in un grafo.

Il grafo completo Kₚ con p vertici. Calcolo esplicito degli autovalori di M(Kₚ) e, di conseguenza, del numero di cammini chiusi di lunghezza n da un dato vertice. Viceversa, il numero di cammini chiusi di lunghezza n da un dato vertice, al variare di n, determina gli autovalori di M(Kₚ).
Il cubo n-dimensionale Cₙ e la trasformata di Radon finita su di esso. Calcolo di M(Cₙ) e dei suoi autovettori. Numero di cammini di lunghezza s tra due vertici di Cₙ che differiscono in k coordinate.

Il determinante di un gruppo finito e la sua fattorizzazione in irriducibili (Teorema di Frobenius).
Alberi e loro caratterizzazione. Ogni albero con almeno due vertici ha almeno due vertici di grado 1. Tree-growing procedure: ogni grafo ottenuto mediante la tree-growing procedure è un albero, e ogni albero si può ottenere in questo modo. Ogni albero con n vertici ha n−1 lati. Teorema di Cayley: il numero di alberi etichettati con n vertici è nⁿ⁻².

Testi/Bibliografia

Leggeremo alcune pagine dei seguenti libri:

Serre, Linear representations of finite groups

Fulton, Young Tableaux


E. P. Stanley. Algebraic combinatorics. Walks, trees, tableaux, and more. Second edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, 2018.

L. Lovász, J. Pelikán, K. Vesztergombi,
Discrete mathematics.
Elementary and beyond. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003.

Metodi didattici

lezioni, esercizi

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

scritto e orale

Strumenti a supporto della didattica

pagina virtuale del corso

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci

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