B5521 - ARITMETICA E GRUPPI (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso si acquisisce familiarità con nozioni di teoria degli insiemi, di aritmetica e aritmetica modulare e della teoria dei gruppi. Si diventa capaci di applicare in modo autonomo tali conoscenze per dimostrare enunciati algebrici con un linguaggio rigoroso.

Contenuti

Insiemi e operazioni tra insiemi. Relazioni (d'ordine parziale, di equivalenza, ecc.). Applicazioni.

Insieme quoziente, proiezione canonica, partizioni e relazioni di equivalenza.

Numeri naturali, interi e razionali. Il principio di induzione. Dimostrazioni per induzione.
Congruenze e operazioni sulle classi di resto modulo n. Aritmetica modulare. Criteri di divisibilità.

Combinatoria degli insiemi finiti. Coefficienti binomiali. Principio di inclusione-esclusione.

Cardinalità degli insiemi (cenni). Insiemi numerabili. ℝ non è numerabile. L'insieme delle parti P(X) non ha la stessa cardinalità di X.

Divisione euclidea in ℕ e ℤ. Algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore. Identità di Bézout. Primalità e irriducibilità in ℤ.

Proprietà algebriche di ℤ/nℤ. Risoluzione di congruenze lineari. Sistemi di congruenze lineari: il Teorema cinese dei resti. Funzione toziente di Eulero, Teorema di Eulero, piccolo teorema di Fermat. Applicazione: crittografia RSA.

Gruppi: definizione ed esempi. Gruppi ciclici, diedrali, simmetrici e alterni. Gruppo lineare generale. Prime proprietà dei gruppi finiti. Ordine degli elementi e dei sottogruppi; Teorema di Lagrange.

Relazione di coniugio. Centro di un gruppo e centralizzatore di un elemento. Il coniugio nei gruppi simmetrici.

Gruppi e sottogruppi; classi laterali sinistre e destre. Omomorfismi di gruppi: immagine e nucleo. Sottogruppi normali e gruppo quoziente.

Isomorfismi e automorfismi. Automorfismi interni.

Azioni di gruppi su insiemi. Immersione di Cayley. Orbite e stabilizzatori. Teorema di Cauchy.

Prodotti diretti e semidiretti. Struttura dei gruppi finiti il cui ordine ha buone proprietà aritmetiche (è primo; è prodotto di due primi; è potenza di un primo, ecc.). Struttura dei gruppi abeliani finiti (cenni).

Teoremi di Sylow.

 

Testi/Bibliografia

Gli argomenti del corso sono standard e sono contenuti in quasi ogni libro di testo per primi corsi universitari di aritmetica e algebra.

Due testi molto belli, e di approccio didattico opposto, sono

Herstein "Algebra", Ed. Riuniti

Artin "Algebra", Bollati Boringhieri

Verranno comunque distribuiti appunti del docente per le varie lezioni.

Metodi didattici

Gesso e lavagna. Appunti distribuiti (con periodicità irregolare).

Fogli di esercizi settimanali da consegnare e valutare.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

 

Una prova scritta e una orale. Verrà tenuto conto del rendimento nei fogli settimanali di esercizi.

Strumenti a supporto della didattica

 

Tutto il materiale verrà messo su Virtuale

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alessandro D'Andrea