B5521 - ARITMETICA E GRUPPI (A-L)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso si acquisisce familiarità con nozioni di teoria degli insiemi, di aritmetica e aritmetica modulare e della teoria dei gruppi. Si diventa capaci di applicare in modo autonomo tali conoscenze per dimostrare enunciati algebrici con un linguaggio rigoroso.

Contenuti

Operazioni tra insiemi; insieme delle parti e prodotto cartesiano, loro cardinalità. Relazioni, relazioni d'equivalenza; relazioni d'ordine totale e parziale, loro diagramma di Hasse. Esempi: divisibilità e congruenza tra numeri interi. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Esempio: Z/n. Partizioni di un insieme, legami con le relazioni di equivalenza. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; esempi; composizione di funzioni e loro inversa; "essere in biezione" è una relazione di equivalenza tra insiemi. Relazione d'equivalenza sul dominio di una funzione e biezione tra l'insieme quoziente associato e l'immagine della funzione.

Assiomi di Peano per i numeri naturali; principio di induzione. Esempi di dimostrazione per induzione. Numeri interi; costruzione dei numeri razionali a partire dei numeri interi; cenni alla costruzione dei numeri reali a partire dai razionali. Costruzione dei numeri complessi, solo enunciato del teorema fondamentale dell'algebra; inverso di un numero complesso. Definizione di somma e prodotto su Z/n; tale definizione è ben posta; esempi. Nozione di anello e campo, esempi. Applicazioni delle congruenze. Criteri di divisibilità per 3, 9, 11; criteri di divisibilità per 2,5,10 e loro potenze. Scrittura di un numero in altre basi, criteri di divisibilità in altre basi. Introduzione alla combinatoria: numero di applicazioni e numero di applicazioni iniettive (o biunivoche) tra due insiemi finiti; cenni al calcolo del numero di funzioni suriettive con il principio di inclusione-esclusione. Coefficienti binomiali, loro proprietà (con dimostrazioni biettive); loro interpretazioni combinatorie: sottoinsiemi di cardinalità data, binomio di Newton, partizione di un intero positivo in interi non negativi, cammini di lunghezza minima su una griglia. Numero di partizioni di un insieme con n elementi: una formula ricorsiva.

Nozione di "avere la stessa cardinalità e "avere cardinalità inferiore" tra insiemi infiniti. Insiemi numerabili; 2N e Z sono numerabili. L'unione di una infinità numerabile di insiemi numerabili e' numerabile; l'insieme dei numeri razionali è numerabile. L'insieme delle successioni binarie non è numerabile. Conseguenze: l'insieme delle parti dei numeri naturali non è numerabile; l'insieme dei numeri reali non è numerabile. Ogni insieme ha sempre cardinalità inferiore al proprio insieme delle parti; il prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi numerabili e' numerabile; l'insieme delle parole di lunghezza finita su di un alfabeto finito o numerabile è numerabile.

Numeri primi e numeri irriducibili; i primi sono irriducibili. La divisione con resto in Z. MCD tra due numeri interi e sua esistenza. Algoritmo di Euclide, identità di Bèzout; esempi. Equazioni diofantee. Gli irriducibili sono primi. Una classe [a] è invertibile in Z/n se e solo se MCD(a,n)=1; dunque Z/n è un campo se e solo se n è primo. Esempio di calcolo dell'inversa. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Infinità dei numeri primi. Piccolo teorema di Fermat; un altro modo per trovare l'inversa di una classe in Z/p.

Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero e sue proprietà. Teorema di Eulero. Risoluzione di congruenze lineari; esempi. Sistemi di congruenze lineari: condizioni per l'esistenza delle soluzioni; risoluzione tramite identità di Bézout. Generalizzazione del piccolo teorema di Fermat agli interi liberi da quadrati. Introduzione alla crittografia. Il metodo RSA. Esempi.

Definizione di gruppo; gruppi commutativi e non commutativi. Esempi e controesempi di gruppi rispetto a somma, prodotto, composizione, operazioni insiemistiche. Il gruppo delle biezioni di un insieme con stesso. Il gruppo U_n degli invertibili di Z/n; il gruppo GL(V) degli isomorfismi di uno spazio vettoriale con sé stesso. Leggi di cancellazione, unicità dell'elemento neutro e degli inversi. Sottogruppi: esempi e proprietà. Ordine di un elemento; esempi.

Omomorfismi di gruppi e loro proprietà. Esempi: funzione esponenziale da R a R*, e da Z a C_4={i,-1,-i,1}. Legame con campi, spazi vettoriali, sottospazi, applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un omomorfismo, loro proprietà. Isomorfismi di gruppi; esempi e controesempi. Essere isomorfi è una relazione di equivalenza; gruppo Aut(G) degli automorfismi di un gruppo. II gruppo R_n delle rotazioni di angoli multipli di 360/n. Il gruppo K_4 delle simmetrie di un rettangolo.

L'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme; esempi di gruppi generati da n elementi e da infiniti elementi. Gruppi ciclici; loro classificazione. Classificazione dei sottogruppi di Z e di Z/n; ordine degli elementi di Z e Z/n. Prodotto diretto di gruppi. La biezione del teorema cinese del resto è un isomorfismo. Se f: G-->H è un omomorfismo, l'ordine di ogni g in G e' divisibile per l'ordine di f(g); se f è un isomorfismo, l'ordine di ogni g in G è uguale all'ordine di f(g); il viceversa non vale; esempi. Omomorfismi da un gruppo ciclico a un gruppo qualsiasi.

I gruppi diedrali: rotazioni e simmetrie. Generatori; sottogruppi; esempi. Immersione del gruppo diedrale nel gruppo simmetrico.

Gruppo simmetrico. Orbite e cicli di una permutazione. Fattorizzazione di una permutazione nel prodotto di cicli disgiunti; conseguente notazione per gli elementi del gruppo simmetrico. Ordine di una permutazione.

Azioni di un gruppo su un insieme. Esempi: azioni del gruppo simmetrico S_n sui polinomi in n variabili e su K^n; azioni del gruppo diedrale D_n sui vertici dell'n-gono regolare e sulle diagonali; azioni per moltiplicazione sinistra (o per divisione a destra) di un gruppo G su sé stesso e sull'insieme dei laterali sinistri di un proprio sottogruppo; azioni per coniugio di un gruppo G su é stesso e sull'insieme dei propri sottogruppi; azione di R*^2 su R^2 e di R_{>0}^2 su R^2.

Teorema di Cayley; esempi e conseguenze.

Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Ogni trasposizione è prodotto di trasposizioni semplici, e quindi il gruppo simmetrico è generato dalle trasposizioni semplici. Un altro insieme di generatori per il gruppo simmetrico.

Permutazioni pari e dispari, teorema: una permutazione non può essere sia pari che dispari. Segno di una permutazione. Sottogruppo delle permutazioni pari, esempi. il segno è l'unico omomorfismo non banale da S_n a C*; un sottogruppo di S_n o è composto da permutazioni pari, o da metà permutazioni pari e metà dispari.

Coniugio e sue proprietà (azione di G su G per automorfismi); essere coniugati è una relazione di equivalenza. Coniugio nel gruppo diedrale. Coniugio nel gruppo simmetrico; partizioni; due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Classi di coniugio e partizioni di un numero naturale. Esempio: strutture cicliche in S3 e S4, loro cardinalità, ordine e segno.

Laterali sinistri e destri di un sottogruppo, esempi. I laterali formano una partizione, e ciascuno ha la stessa cardinalità del sottogruppo. Indice di un sottogruppo; teorema di Lagrange; sue applicazioni: l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo, ogni gruppo di cardinalità un primo è ciclico, teorema di Eulero. Esempi in cui laterali destri e sinistri coincidono o non coincidono; sottogruppi normali. Centro di un gruppo e sue proprietà.

Un sottogruppo è normale se e solo se è unione di classi coniugate. Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo normale. Relazioni compatibili: corrispondenza tra relazioni compatibili e sottogruppi normali. Se un sottogruppo e' normale allora l'insieme dei suoi laterali sinistri forma un gruppo (detto gruppo quoziente), e la proiezione su tale quoziente e' un omomorfismo. Esempi di gruppi quoziente.
Teorema fondamentale di omomorfismo; esempi e applicazioni.

Insieme prodotto di due sottogruppi di un gruppo e sue proprietà. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi; proprietà ed esempi. Esempi di prodotti semidiretti tra loro non isomorfi. Cenni alle presentazioni dei gruppi. Gruppo delle unità dei quaternioni.

Orbite e stabilizzatori: definizione, proprietà, esempi. Centralizzatore di un elemento e normalizzatore di un sottogruppo. Gli stabilizzatori di elementi appartenenti alla stessa orbita sono tra loro coniugati. Biezione tra gli elementi di un'orbita e i laterali dello stabilizzatore; formula delle orbite e formula delle classi; esempi. Applicazioni: se un gruppo ha ordine p^n allora il suo centro non è banale; se un gruppo ha ordine p^2 allora è commutativo.

Sottogruppi di Sylow, esempi: le matrici triangolari unipotenti su Z/p.

p-sottogruppi di Sylow; esempi: i 2-Sylow e 3-Sylow del gruppo simmetrico S4; le matrici triangolari superiori con 1 nella diagonale sono un p-Sylow di GL(n,Z/p). Normalizzatore di un sottogruppo e sue proprietà. Teoremi di Sylow: i p-sottogruppi di Sylow esistono, sono tra loro coniugati, ed il loro numero soddisfa condizioni di divisibilità e congruenza. Corollario: teorema di Cauchy. Se c'è un unico p-sottogruppo di Sylow allora è normale.

Applicazioni dei teoremi di Sylow: i gruppi di cardinalità prodotto di due primi; esempi: classificazione dei gruppi di ordine 15 e di ordine 21. Il teorema di Cauchy come applicazione del teorema di Sylow.

Gruppi dei movimenti rigidi dello spazio che fissano un poliedro (o un politopo) : il gruppo del cubo (e dell'ipercubo), il gruppo del tetraedro (e del simplesso). Il teorema di corrispondenza tra sottogruppi che contengono un normale dato e i sottogruppi del quoziente (senza dimostrazione, ma con un esempio). Un sottogruppo di GL(n,K) isomorfo a S_n. Il gruppo A1tilde dei movimenti rigidi della retta reale che mandano interi in interi. Cenni ai gruppi delle tassellazioni. Cenni ai gruppi dei poliedri e di alcune molecole.

Testi/Bibliografia

Pagina Virtuale del corso, con appunti delle lezioni.

Si consiglia di studiare anche sul seguente libro di testo:

G. M. Piacentini Cattaneo: ALGEBRA, un approccio algoritmico,

Zanichelli

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in classe. Tutorati. Compiti per casa assegnati settimanalmente, corretti dai tutor e risolti alla lavagna dai docenti.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame ha lo scopo di verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi: conoscenza approfondita dei concetti di algebra presentati durante il corso; capacità di utilizzare gli strumenti forniti per risolvere un problema algebrico.

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è necessaria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami. Si ricorda che durante gli esami è necessario esibire il badge universitario o altro documento di riconoscimento.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e di problemi e mira a valutare la capacità dello studente di saper applicare gli strumenti teorici forniti. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti né di calcolatrici o cellulari, e non è consentito comunicare con altre persone verbalmente o tramite messaggi di qualunque tipo.

La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 18/30 per essere ammessi alla prova orale. I risultati vengono inseriti sul sito AlmaEsami.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia, la proprietà di linguaggio e la capacità di sostenere una discussione sugli argomenti del corso. La valutazione finale terrà conto delle due prove nel loro complesso e la relativa verbalizzazione viene effettuata al termine della prova orale.

Sono previsti sei appelli nell'arco dell'anno accademico: due nella sessione invernale Gennaio-Febbraio, due o tre nella sessione estiva Giugno-Luglio, uno o due una nella sessione autunnale di Settembre. Le loro date esatte saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni, esercizi per casa, ore di ricevimento

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci