B8296 - NUMERICAL ANALYSIS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce gli aspetti numerico-matematici e le principali metodologie algoritmiche alla base del calcolo scientifico e dell'analisi dei dati. In particolare, lo studente è in grado di utilizzare metodi di algebra lineare numerica per l'analisi dei dati, per risolvere sistemi lineari e non lineari di grandi dimensioni, problemi di interpolazione, approssimazione dati ai minimi quadrati, integrazione numerica e differenziazione, metodi di ottimizzazione e tecniche di regolarizzazione. Nella seconda parte del corso lo studente viene introdotto ai metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate ordinarie e derivate parziali con particolare riferimento agli schemi alle differenze finite e agli elementi finiti. Il corso prevede un’attività di laboratorio che ne costituisce parte integrante che permette allo studente di implementare ed eseguire analisi di dati al calcolatore, applicare le metodologie studiate a casi prova, risolvere modelli differenziali ODE, PDE con metodo alle differenze finite.

Contenuti

Analisi Numerica (6CFU)

1. Richiami di algebra lineare : vettori, matrici , norme di vettori e di matrici, spazio vettoriale, base, autovalori, calcolo matriciale.

2. Fondamenti della matematica numerica: sorgenti di errore nei modelli computazionali, numeri finiti, algoritmi, condizionamento di un problema, stabilita' numerica.

3. Introduzione all'ambiente MATLAB, programmazione e risoluzione di semplici problemi di ingegneria.

4. Risoluzione di sistemi lineari. Metodi diretti: Fattorizzazione LU, il metodo di eliminazione di Gauss, strategie di pivoting, algoritmo di Cholesky, algoritmo di Thomas. Risoluzione di sistemi lineari Metodi iterativi: Gauss-Seidel, Gradienti Coniugati, Precondizionamento.

5. Risoluzione numerica di equazioni e sistemi non lineari: Metodo di bisezione, metodo di Newton, secanti, regula falsi.

6. Approssimazione polinomiale di dati ai minimi quadrati: Metodo delle equazioni normali, utilizzo fattorizzazione QR, SVD . Interpolazione polinomiale e interpolazione polinomiale a tratti.

7. Metodi di regolarizzazione per problemi inversi malposti, Principal Component Analysis.

8. Integrazione numerica: formule di quadratura di Newton Cotes semplici e composite. Derivazione Numerica

9. Ottimizzazione numerica: metodo del gradiente, del gradiente stocastico, ottimizzazione in machine learning, metodo di Newton e metodo di Gauss-Newton.

Numerical Method for Differential Equations (3 CFU)

1. Soluzione numerica di Equazioni e sistemi di Equazioni differenziali Ordinarie: Metodi ad un passo; Controllo dell'errore e stabilità; Definizione del passo; passo adattivo; Metodi per Problemi Stiff;

2. Problemi con valori al contorno;

3. Soluzione numerica di Equazioni a Derivate Parziali; Classificazione; Dominio di dipendenza; condizioni al contorno. Equazioni del primo/secondo ordine. Trattamento numerico di problemi parabolici, equazioni ellittiche, equazioni del trasporto, iperboliche. Metodo alle differenze finite e accenno a metodo agli elementi finiti.

4. Introduzione all'ambiente PDETOOL e suo utilizzo nell'analisi di alcuni modelli.

Testi/Bibliografia

A First Course in Numerical Methods, Uri M. Ascher Chen Greif, SIAM

Cleve Moler, Numerical Computing with MATLAB , Ed. SIAM, 2004.
Michael T. Heath, Scientific Computing: An Introductory Survey , 2nd ed., McGraw-Hill, 2002.

A.Quarteroni, F.Saleri, P.Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave, 2010

A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, 2014, ISBN 978-88-470-5522-3

Randall J. Leveque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems, 2007

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni tenute dal docente in laboratorio

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di una parte scritta ed un orale:

Esame scritto (2h30) per ANALISI NUMERICA

Esame orale per la parte di Equazioni Differenziali.

Alla fine del corso viene assegnato un progetto individuale per la seconda parte. Consiste in un problema biomedico con una formulazione ODE/BVP/PDE da risolvere in MATLAB. Prima dell'esame orale deve essere presentata una relazione sull'implementazione proposta e sugli esperimenti.

Strumenti a supporto della didattica

Fondamentale attività in laboratorio in cui viene utilizzato il programma MATLAB, strumento che presenta un'estrema semplicità di approccio ed è ormai diffuso universalmente in ambito di computazioni scientifiche, accessibile su ogni piattaforma di calcolo.

Lucidi e materiale didattico disponibili sul sito WEB del docente sulla piattaforma virtuale.unibo.it

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Serena Morigi