09757 - GEOMETRIA E ALGEBRA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede le conoscenze sul metodo deduttivo, l'uso degli algoritmi per l'algebra lineare di base e la geometria lineare di base del piano e dello spazio, comprese coniche e quadriche. In particolare, si sono acquisiti strumenti di algebra matriciale.

Contenuti

1. Richiami di teoria: Insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali, classi di resto). Polinomi e loro scomposizione. Operazioni e loro proprietà. Esempi ed esercizi.
   
2. Sistemi lineari: Equazioni lineari, soluzioni, sistemi equivalenti, sistemi omogenei. Metodi risolutivi, matrici associate ad un sistema, riduzione a scala (algoritmo di Gauss), rango, teorema di Rouchè-Capelli. Esercizi di risoluzione di sistemi lineari anche con parametro.
3. Calcolo matriciale: operazioni con le matrici (somma, prodotto riga per colonna), matrice trasposta, matrici simmetriche e antisimmetriche, matrice inversa e metodi di inversione (sistema lineare e riduzione per riga). Esempi ed esercizi.
4. Spazi vettoriali: definizione, esempi, proprietà elementari, sottospazi e intersezione con esercizi. Combinazioni lineari, lineare indipendenza/dipendenza. Insiemi di generatori. Lemma della cardinalità. Basi e dimensione. Criteri per stabilire la lineare indipendenza/dipendenza e per stabilire se un insieme genera. Completamento a una base ed estrazione di base. Esempi ed esercizi.
5. Span e somma di spazi vettoriali, formula di Grassmann, somma diretta e scomposizione di vettori. Richiamo al teorema di Rouchè-Capelli in funzione della formula di Grassmann.
6. Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
7. Applicazioni lineari: definizione, esempi, composizione, nucleo e immagine/iniettività e suriettività. Criteri di esistenza e unicità per applicazioni lineari. Teorema delle dimensioni. Spazio vettoriale delle applicazioni.
8. Matrici e applicazioni lineari: matrice associata alla base canonica. Interpretazione geometrica delle applicazioni lineari. Matrice di un’applicazione con basi qualsiasi. Cambio di coordinate e cambio di base.
9. Determinante: definizione tramite lo sviluppo di Laplace/matrici dei cofattori. Proprietà del determinante. Esercizi.
10. Endomorfismi lineari: autovalori, autovettori, polinomio caratteristico. Criteri di diagonalizzabilità/triangolarizzabilità di un endomorfismo. Esempi ed esercizi.
11. Applicazioni bilineari, forme bilineari e quadratiche.
12. Prodotti scalari, ortogonalità, basi ortogonali e ortonormali. Matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt.
13. Coniche e quadriche.

Testi/Bibliografia

Libri di testo:

• Marco Abate, Chiara de Fabritiis "Geometria analitica con elementi di algebra lineare" (McGraw-Hill)
  

• Stefano Francaviglia "Geometria e Algebra T. (Aggiornamento 2017)" ISBN 9780244020736

Raccolta di esercizi d'esame:

• Stefano Francaviglia "Test di Algebra Lineare" ISBN 9781540411921

Metodi didattici

L'insegnamento partecipa al progetto di innovazione didattica dell'Ateneo.

Nel corso di quest'anno sarà sperimentata la cosiddetta didattica invertita e sarà usato il metodo Blended (ci saranno sia lezioni frontali tradizionali che lezioni online.)

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame sara' scritto e suddiviso in due parti:

-un test a risposta multipla della durata di un'ora verifichera' che gli studenti abbiano appreso gli algoritmi computazionali introdotti nel corso e siano in grado di risolvere in autonomia esercizi simili a quelli svolti in classe.

-uno scritto della durata di 30 minuti a risposta aperta verifichera' l'apprendimento e la comprensione dei contenuti teorici del corso, e la padronanza del linguaggio matematico.

Nel test sara' possibile totalizzare un massimo di 24 punti (12 domande valutate +2 se corrette -1 se sbagliate 0 se in bianco), nello scritto un massimo di 10 (due domande a risposta aperta), il voto finale sara' dato dalla somma dei risultati parziali. E' necessario totalizzare almeno 12 punti nel test per essere ammessi allo scritto, che si svolgera' nella stessa giornata del test dopo una breve pausa.

E' necessario iscriversi all'esame su Alma Esami, e non si puo' svolgere lo scritto in una giornata diversa dal test. Non sono ammessi materiali di consultazione né strumenti elettronici.

Strumenti a supporto della didattica

Ogni settimana sara' condiviso un test di autovalutazione sui contenuti introdotti nella settimana simile nella forma e nei contenuti al test d'esame.

Sulla piattaforma Virtuale saranno condivise informazioni sul corso ed esercizi di autovalutazione.

Sarà creato un forum di domande e risposte.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Maria Beatrice Pozzetti