27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente conosce i concetti fondamentali dell'analisi e, in particolare, le principali proprietà delle funzioni reali di una variabile reale (limiti, continuità, calcolo differenziale e calcolo integrale). Sa inoltre leggere ed interpretare i grafici di tali funzioni e risolvere adeguati esercizi su questi argomenti e trovare le soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.

Contenuti

INSIEMISTICA, INSIEMI NUMERICI e FUNZIONI. Richiami di insiemistica. Insiemi numerici: naturali, interi, razionali e reali. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Richiami sulle funzioni: composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzioni inverse. Funzioni monotone.

SUCCESSIONI. Definizione di successione di numeri reali. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, dei due carabinieri. L'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti.

FUNZIONI CONTINUE. Definizione di funzione continua di una variabile reale. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni. Funzioni uniformemente continue e funzioni Lipschitziane.

CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Il calcolo delle derivate. I teoremi del valor medio. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano e in quella di Lagrange. Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Funzioni convesse.

CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilità. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili.

Testi/Bibliografia

TEORIA

1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (seconda edizione), McGraw-Hill (2011)
2. G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, Zanichelli (2009)
   

ESERCIZI. M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Progetto Leonardo - Esculapio (2011)

Metodi didattici

Lezione frontale alla lavagna e ricevimento settimanale.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta sarà composta da esercizi. La durata sarà di 2 ore e 30 minuti. Non è consentito l'uso di appunti e/o libri. E' consentito l'uso di calcolatrici NON programmabili.

L'accesso alla successiva prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta con un punteggio maggiore o uguale a 18/30.

La prova orale verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati, su esempi e controesempi.

Ci saranno 6 appelli (ognuno dei quali avrà sia scritto che orale): 3 nella sessione invernale (gennaio - febbraio) e 3 nella sessione estiva (2 tra giugno-luglio + 1 in settembre).

Prova orale e scritta devono essere sostenute e superate nel medesimo appello.

Si raccomanda a coloro che sono in possesso di certificazioni DSA o disabilità (temporanee o permanenti) di prendere contatto quanto prima con l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it). Sarà compito dell'ufficio proporre eventuali adattamenti, che saranno poi sottoposti all’approvazione del docente con un anticipo di 15 giorni rispetto alla data dell'esame. Il docente valuterà l'opportunità di tali adattamenti anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Strumenti a supporto della didattica

Tutorato (qualora assegnato).

Fogli di esercizi caricati sul sito di UniBo "VIRTUALE"

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Eugenio Vecchi