69260 - MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale, del calcolo vettoriale e dell'algebra lineare, dei primi elementi del calcolo per funzioni di più variabili, dei numeri complessi, conosce i metodi più elementari per la soluzione di equazioni differenziali. In particolare, lo studente è in grado di rappresentare dati o funzioni in forma grafica, eseguire applicazioni del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali, eseguire operazioni con vettori e matrici e sa utilizzare i concetti alla base del calcolo numerico, quali analisi dell'errore, approssimazione di dati sperimentali, interpolazione, integrazione numerica, equazioni non lineari e sistemi di equazioni lineari.

Contenuti

MODULO DI ANALISI.

Limiti e continuità, i principali teoremi.
Derivate, principali teoremi ed applicazioni: tangenti a curve, crescenza e decrescenza di funzioni, convessità, studio di grafici di funzioni, formula di Taylor.
Integrali per funzioni di una variabile, primitive, integrazione di funzioni razionali, integrazione per sostituzione e per parti.
Equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi per equazioni differenziali lineari di primo ordine, a variabili separabili, lineari di ordine superiore con coefficienti costanti.
Primi elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili, derivate parziali, gradiente e matrice hessiana, punti di massimo e di minimo, determinazione del mimino e massimo assoluto di una funzione di due variabili in un dominio chiuso e limitato.
Integrali doppi: significato geometrico, formula di riduzione; cambiamento di variabili, con particolare riguardo alle coordinate polari.

MODULO DI ALGEBRA LINEARE.

Numeri complessi. Forma cartesiana e forma polare. Radici ennesime di un numero complesso. Binomio di Newton.

Polinomi. Somma e prodotto di polinomi. Divisione euclidea. Radici di polinomi e fattorizzazione. Teorema di Ruffini.
Sistemi lineari e matrici. Sistemi di equazioni lineari ed insieme delle soluzioni. Algoritmo di Gauss (metodo di eliminazione di Gauss). Matrice di un sistema lineare e riduzione alla forma a scalini ridotta.
Applicazione dell'algoritmo di Gauss per l'inversione di matrici.
Spazi vettoriali: operazioni di somma di vettori e moltiplicazione per scalare. Combinazioni lineari. Sottospazi vettoriali. Esempi (polinomi, matrici, successioni). Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Sottospazio vettoriale generato da una famiglia di vettori. Famiglie libere, famiglie generatrici. Basi e dimensione. Coordinate in una base fissata.
Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Teorema del rango. Iniettività e suriettività. Matrice di un'applicazione lineare da una base di partenza ad una base di arrivo. Autovalori e autovettori di un'applicazione lineare, matrici diagonalizzabili e diagonalizzabilità di un endomorfismo. Determinanti e loro calcolo.

Testi/Bibliografia

Il testo di riferimento del corso è

• M. Bramanti, S. Salsa, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, 2004 [https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/matematica-calcolo-infinitesimale-e-algebra-lineare]

Il seguente testo ne è una versione un po' più discorsiva (ma non copre una piccola parte degli argomenti in programma).

• M. Bramanti, F. Confortola, S. Salsa, Matematica per le scienze, Zanichelli, 2024 [https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/matematica-per-le-scienze ]

Ulteriore materiale sarà messo a disposizione su Virtuale.

Metodi didattici

Lezioni frontali, fogli di esercizi assegnati regolarmente, ed esercitazioni guidate con tutor.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale, seguita da una prova orale. L'esame avviene in unica soluzione per entrambi i moduli che compongono il corso.

La prova scritta mira ad accertare le abilità acquisite attraverso la risoluzione di esercizi sugli argomenti affrontati. Per essere ammessi alla prova orale occorre ottenere un punteggio minimo di 15 punti. La validità di una prova scritta superata è limitata agli appelli di una stessa sessione d'esame. La prova orale, nella quale si discutono anche esercizi, mira a verificare l'acquisizione delle conoscenze previste dal programma del corso. Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto delle valutazioni riportate in entrambe le prove.

Studenti con DSA o disabilità temporanee o permanenti sono raccomandati di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/ studenti-con-disabilita-e-dsa/it). Sarà cura di tale ufficio proporre agli studenti interessati eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione dei docenti, che ne valuteranno l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento.

Strumenti a supporto della didattica

AlmaMathematica [https://almaorienta.unibo.it/it/almamathematica] è un corso di e-learning con lo scopo primario di migliorare la preparazione in matematica di base nel periodo di transizione tra la scuola secondaria e gli studi universitari.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Jacopo Gandini

Consulta il sito web di Enrico Fatighenti