66876 - ALGEBRA LINEARE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del modulo,lo studente conosce e sa usare l'algebra lineare di base.Conosce i vettori geometrici, gli spazi vettoriali Rn (n=1,2,3,...), gli spazi vettoriali astratti e sa operare negli spazi Rn, interpretare, discutere e risolvere sistemi lineari. Conosce le trasformazioni geometriche, l'algebra delle matrici, le applicazioni lineari e sa operare con le matrici e usare autovalori e autovettori.

Contenuti

1. Spazi vettoriali di dimensione finita. Vettori geometrici ed operazioni su di essi. Spazi vettoriali reali. Spazi vettoriali geometrici Vn (n=1,2,3), numerici Rn (n=1,2,3,4,...), di funzioni (cenni). Combinazioni lineari. Indipendenza lineare. Spazi vettoriali con una base finita, coordinate, identificazione con uno spazio Rn; dimensione. Vettori geometrici, lunghezza, ortogonalità, prodotto scalare. Spazi vettoriali Euclidei. Spazi vettoriali Euclidei En (n=1,2,3), Rn (n=1,2,3,4,...), di funzioni (cenni). Proiezioni ortogonali, basi ortogonali.
2. Algebra delle matrici. Spazio delle righe e spazio delle colonne di una matrice; algoritmi di Gauss e Gauss-Jordan; basi degli spazi riga e colonna; rango. Somma di matrici; prodotto di righe per colonne; prodotto di matrici; proprietà. Algebra delle matrici quadrate; determinante; invertibilità e inversione. Matrici ortogonali.
3. Sistemi lineari. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite con un'unica soluzione. Metodo di eliminazione. Regola di Cramer. Sistemi lineari omogenei, spazio nullo di una matrice, una base, dimensione. Risolubilità e struttura delle soluzioni di un sistema lineare. Sistemi lineari come casi particolari di equazioni matriciali.
4. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali di dimensione finita. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali Rn e matrici; struttura di un'applicazione lineare e sistemi lineari; composizione, inversione di applicazioni e prodotto, inversione di matrici. Applicazione lineare fra spazi vettoriali; matrice di un'applicazione rispetto a basi di codominio e dominio; relazione fra le matrici di una applicazione.
5. Autovettori, autovalori, diagonalizzazione. Trasformazioni geometriche, rette vettoriali invarianti. Endomorfismi di uno spazio vettoriale, autovettori, autovalori e diagonalizzabilità. Polinomio caratteristico, autospazi di un endomorfismo. Teoremi sulla diagonalizzazione. Teorema spettrale sugli endomorfismi di uno spazio vettoriale Euclideo ortogonalmente diagonalizzabili.
   
   

Testi/Bibliografia

• Appunti delle lezioni ed esercizi, pubblicati settimanalmente dal docente su Virtuale.
  
• Per un'apertura su un panorama di contenuti e applicazioni dell'algebra lineare più vasto di quello del corso si segnala: G. Strang, Linear Algebra for Everyone, Wellesley-Cambridge Press

Metodi didattici

• Lezioni frontali.
• Ogni settimana verranno assegnati degli esercizi, che saranno corretti da un tutor.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per superare l'esame del corso integrato Analisi Matematica - Algebra Lineare bisogna superare l'esame sulle singole parti; il voto d'esame del corso integrato è la media dei voti delle singole parti.

Esame sulla parte di Algebra Lineare:

• L''esame consiste di una prova scritta ed una prova orale, da svolgere nello stesso appello.
• Per accedere alla prova orale bisogna ottenere nella prova scritta un voto di almeno 12/30. La prova orale è decisiva.
• La prova scritta mira a verificare la capacità di applicare la teoria alla risoluzione di esercizi del tipo di quelli assegnati durante il corso. Vanno riportati e motivati i passaggi. Non è ammesso l'uso di libri, appunti o calcolatrici; solo carta e penna. Dura 1 ora e 30 minuti.
  
• La prova orale mira a verificare la conoscenza della teoria sviluppata durante il corso. Verrà chiesto di dare definizioni ed esempi dei concetti e di dare enunciati e dimostrazioni di proposizioni. Dura circa 30 minuti.

Strumenti a supporto della didattica

Ulteriore materiale verrà pubblicato durante il corso su Virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesco Regonati