00474 - GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce conoscenze di carattere avanzato sulle varietà lisce e sul calcolo differenziale con particolare riguardo alla coomologia di de Rham e alla teoria di Morse. È in grado di applicare le nozioni acquisite per la risoluzione di problemi e la costruzione di dimostrazioni.

Contenuti

Varietà differenziabili e funzioni differenziabili.
Fibrati vettoriali.
Spazio tangente e mappa tangente.
Sottovarietà.
Campi di vettori e flussi.
Metriche Riemanniane.
Geodetiche e mappa esponenziale.
Forme differenziali.
Integrazione e teoremi di Stokes.
Coomologia di De Rham.

Prerequisiti

Sara' necessaria una buona conoscenza dei corsi obbligatori della laurea triennale, con particolare attenzione all'algebra lineare (Geometria 1), l'analisi in piu' variabili (Analisi 2), la topologia (Geometria 2). Sara' utile anche come riferimento lo studio delle curve e superfici immerse trattato nel primo modulo di Geometria 3. 

Testi/Bibliografia

Lee, An introduction to smooth manifolds, Springer

Lee, An introduction to Riemannian manifolds, Springer

Metodi didattici

Lezioni frontali. Settimanalmente verra' assegnato un foglio di esercizi utile per aiutare gli studenti a rendere concrete le nozioni teoriche apprese in esempi e prepararsi per l'esame scritto. Discuteremo alcuni degli esercizi assegnati nella terza ora Mercoledi'.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L' esame relativo a questa componente del corso integrato (00474 - GEOMETRIA DIFFERENZIALE - 6 cfu) consiste in una prova scritta seguita da una breve prova orale che determinera' il voto del modulo. Il voto finale del corso integrato è dato dalla media dei voti dei due moduli del corso, con arrotondamento all'unità superiore. Le lodi valgono 31 nel calcolo della media.

Dettagli per la modalita' d'esame di questa componente

Nella prova scritta gli studenti dovranno risolvere alcuni esercizi simili a quelli assegnati in classe e scrivere dimostrazioni analoghe a quelle spiegate nella parte teorica del corso, nella prova orale si discutera' dei contenuti del corso e si verifichera' la comprensione e l'apprendimento delle dimostrazioni del corso e, per voti superiori al 27, la capacita' di applicare in autonomia i concetti studiati a nuove tematiche.

Il voto finale del modulo viene determinato dalla prova orale tenendo conto del risultato della prova scritta. Le due prove devono essere sostenute nello stesso appello. Si può accedere alla prova orale ottenendo almeno 16/30 nella prova scritta. Chi voglia ripetere un esame gia' superato deve avvisarmi quando comunico il voto parziale alla fine della prova orale.

La prova scritta ha la durata di 2 ore. Non sono ammessi materiali di consultazione, come libri o appunti, ne' strumenti elettronici.

Strumenti a supporto della didattica

Useremo la pagina dedicata nella piattaforma Virtuale per caricare settimanalmente fogli di esercizi in preparazione allo scritto, e condividere il registro delle lezioni ed eventuali informazioni aggiuntive sul corso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Maria Beatrice Pozzetti