76300 - METODI MATEMATICI PER LA MECCANICA DEI CONTINUI

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso è focalizzato sui principali aspetti matematici della Meccanica dei Continui, con molte applicazioni a situazioni del mondo reale, in ambito biomedico, fisico e astrofisico. Durante il corso gli studenti si rendono conto dell'importanza strategica delle EDP per la costruzione di modelli matematici, e imparano diverse tecniche analitiche per affrontarne qualitativamente lo studio. Al termine gli studenti sanno adoperare queste nozioni in modo autonomo, e riescono a comprendere anche i più recenti sviluppi di questi settori in cui la ricerca è attiva.

Contenuti

 Introduzione ai modelli compartimentali ad una o a più specie interagenti del tipo SI o del tipo SIR/SIV, formulati nell'ambito della meccanica dei continui, per la descrizione di fenomeni naturali, come per esempio la dinamica degli ecosistemi, la diffusione di epidemie da virus e da batteri, o il consumo delle sigarette elettroniche.

Il ruolo della diffusione spaziale: dai Sistemi Dinamici ai Modelli di Diffusione e Reazione del tipo flusso-gradiente.

Soluzioni di equilibrio e analisi della stabilità/instabilità lineare.

L'effetto di termini di diffusione incrociata, del tipo chemiotattico nella legge costitutiva di Fick, e di reazioni logistiche (Verhulst) verso le instabilità di Turing.

Esempi: dal modello preda-predatore di Lotka-Volterra, in presenza degli effetti pesca, per entrambe le specie, e logistici, per le prede, anche con diffusione spaziale, ai più recenti modelli matematici in epidemiologia che generalizzano il modello pionieristico SIR di Kermack-McKendrick, includendo effetti demografici e vaccinazione, verso il recente modello di diffusione e reazione con aspetti chemiotattici di Bellomo-Tao, del tipo SIV, V=Virus, per le infezioni da virus, basato sul modello  SIV di Nowak e May, o il modello di diffusione e reazione, con diffusione incrociata, del tipo SIL, di Vanag e Epstein, detto crimo-tassi.

Il ruolo speciale delle biforcazioni "forward" e "backward", verso la definizione degli errezero/BRN tipici del modello in gioco.

Il modello di diffusione e reazione di Abramson e Kenkre del tipo SI per la diffusione dell'Hantavirus vs il modello di aggregazione cellulare di Keller-Segel per i processi chemiotattici, anche in presenza di un recente effetto logistico stabilizzante per la cellula batterica: il ruolo stabilizzante della diffusione spaziale classica vs il ruolo destabilizzante della diffusione incrociata.

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali del primo e del secondo ordine in due variabili indipendenti reali verso modelli evolutivi 1D e stazionari 2D: problema di Cauchy, il ruolo speciale delle curve caratteristiche nella classificazione di un modello e nelle proprietà di propagazione ondosa dei modelli iperbolici, via la loro interpretazione di curve di singolarità del tipo "salto" del primo e del secondo ordine.

Generalizzazione a modelli evolutivi, parabolici e iperbolici,  e stazionari, di tipo ellittico, in versione 3D: il ruolo delle superfici caratteristiche, interpretabili come le onde di discontinuità dei modelli iperbolici.

Come esempio il modello iperbolico quasi lineare del gas perfetto barotropico di Eulero verso le onde sonore in versione 1D e 3D: onde iperboliche sonore vs onde dispersive sonore, via la tecnica dei Modi Normali di Fourier.

Esempi classici e non del secondo ordine in versione 3D: descrizione di alcune tecniche analitiche per lo studio delle proprietà matematiche qualitative dei modelli.

L'argomento del tipo Energia in L^2: Condizioni al Bordo verso Teoremi di Unicità e risultati di Stabilità non lineare.

Uno studio comparativo fra i modelli lineari classici di diffusione, delle onde e delle onde smorzate, di Laplace e di Helmholtz con il modello parabolico semilineare dei liquidi viscosi di Navier-Stokes.

PDEs del primo ordine in forma conservativa verso l'equazione salto di Rankine-Hugoniot in forma 1D e 3D: onde d'urto come esempi di soluzioni deboli.

introduzione alla Meccanica dei Continui.

Una breve rivisitazione di calcolo tensoriale e di analisi tensoriale.

Localizzazioni, configurazioni, analisi delle deformazioni e le principali proprieta' cinematiche nei due diversi formalismi lagrangiano ed euleriano; il Teorema del Trasporto di Reynolds nelle sue varie forme.

Leggi di bilancio, in formulazione integrale e locale, anche in presenza di una superficie di singolarità per un campo incognito, a valori scalari e vettoriali.

Il ruolo delle equazioni costitutive per i vettori/tensori flusso: legge di Fick e sue possibili generalizzazioni verso i modelli di diffusione e reazione, parabolici e iperbolici, precedentemente discussi.

Derivazione delle equazioni salto di Rankine-Hugoniot, in presenza di una superficie di singolarità per il/i campo/i incogniti.

I principi di conservazione della Meccanica dei Continui e la loro forma locale, divergenza e convettiva: il Teorema di Cauchy ed il Teorema dell'Energia cinetica.

Le diverse teorie costitutive, classiche e non, per fluidi e corpi elastici: il modello di Eulero dei fluidi perfetti barotropici, il modello di Navier-Stokes per i fluidi linearmente viscosii/dissipativi, il modello di Maxwell per i fluidi viscoelastici e il modello di Navier per i solidi elastici lineari e omogenei.

I due Principi della Termodinamica, in formulazione integrale e locale.

Conduzione rigida del calore:l'equazione dell'energia calorica, la legge fenomenologica di Fourier verso teorie costitutive alternative con un ritardo di risposta come, per esempio, la correzione iperbolica di Maxwell-Cattaneo..

Motivazione e costruzione, in termini delle equazioni di bilancio e delle relazioni costitutive, via la Legge classica di Fick o le sue possibili generaizzazioni, dei modellamenti matematici quasi lineari, parabolici o iperbolici, in dinamica delle popolazioni (modello FKPP verso la correzione iperbolica di Mendez e Camacho), per il flusso del traffico (modello di Whitham verso il modello di Jordan) o, a più specie interagenti, in ambito bio-medico per la diffusione di virus e di batteri.

Come esempi, i modelli di diffusione e reazione dell'Hantavirus di Abramson e Kenkre, i modelli di diffusione e reazione, con termine "drift" di Keller-Segel e quello idrodinamico di Chavanis-Sire per le aggregazioni cellulari.

Modelli matematici a 3 specie interagenti per analizzare qualitativamente gli effetti delle sigarette elettroniche sul problema della cessazione del fumo.

Modelli matematici continui a confronto per l'insorgenza e la diffusione dell'Alzheimer.

Analogie fra la formazione del collasso chemotattico nei processi di aggregazione cellulare e l'instabilità gravitazionale di Jeans in ambito astrofisico, nei processi di formazione delle stelle e delle galassie.

Testi/Bibliografia

F.John: Partial Differential Equations, Springer, 1991.

M.Renardy, R.C.Rogers: Introduction to PDEs, Springer, 2006.

I- Shih Liu: Continuum mechanics, Springer 2002.

T.Ruggeri: Introduzione alla termomeccanica dei sistemi continui ed ai sistemi iperbolici, UNITEXT, Springer 2025.

B.Straughan: The energy method, stability and nonlinear convection, Springer New York, 2004.

B.Straughan: Heat Waves Applied Mathematical Sciences, 177, Springer, New York, 2011.

J.D.Murray: Mathematical Biology. I: An Introduction, vol.17 of Interdisciplinary Appl. Math. Springer, New York, 2003a.

J.D.Murray: Mathematical Biology. II: Spatial Models and biomedical applications, vol.17 of Interdisciplinary Appl. Math. Springer, New York, 2003b.

Appunti e articoli di ricerca pubblicati su Virtuale

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali in cui vengono sviluppati gli aspetti teorici degli argomenti trattati, mettendo in risalto l'importanza della conoscenza dei sistemi dinamici e delle equazioni alle derivate parziali non lineari per costruire dei nuovi modellamenti matematici, e presentando le tecniche analitiche per affrontarne lo studio, allo scopo di descrivere matematicamente le proprietà sperimentali di fenomeni della vita reale e delle scienze sociali, in ambito bio-medico, fisico e astrofisico.

La frequenza è fortemente consigliata, ma non obbligatoria.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene mediante una prova orale nella quale la prima domanda riguarda l'approfondimento di un argomento/modello matematico, legato alle tematiche del corso, scelto dalla studente, seguito da domande del docente che partendo da questa tematica potrebbero spaziare su tutto il programma, con lo scopo di accertare la padronanza acquisita dei diversi formalismi presentati e delle loro finalità.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Franca Franchi