07169 - ISTITUZIONI DI MATEMATICA II

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente conosce gli strumenti di base del calcolo differenziale a più variabili ed è in grado di risolvere alcuni tipi di Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO) e di sistemi di EDO. Ha inoltre conoscenza delle basi probabilistiche e statistiche per analizzare dati ed è in grado di studiare il comportamento di campioni di una variabile aleatoria.

Contenuti

Prima parte del corso

Sviluppi in serie. Richiamo allo sviluppo in serie di Taylor di funzioni di una variabile.

Funzioni di più variabili. Dominio e immagine. Grafici e curve di livello per funzioni di due variabili. Grafici e superfici di livello per funzioni di tre variabili. Limiti e continuità. Funzioni polinomiali e razionali.

Derivate parziali. Definizione ed interpretazione geometrica delle derivate parziali. Differenziabilità, piano tangente e sviluppo in serie per funzioni di due variabili. Derivate direzionali. Gradiente. Punti critici o stazionari. Massimi e minimi locali. Punti sella. Richiamo su determinante e traccia di una matrice. Richiamo su autovalori, autovettori e matrici definite di segno. Definizione della matrice hessiana. Test su matrice hessiana per classificare i punti critici.

Campi vettoriali. Conservatività di un campo e potenziale. Verifica dell’esistenza del potenziale di un campo di forze. Calcolo del potenziale per un campo conservativo. Integrali di linea di campi vettoriali. Divergenza e rotore, e loro significato. Derivata temporali parziale, totale e materiale. Cenno all'equazione di continuità ed ai punti di vista euleriano e lagrangiano in fluidodinamica.

Equazioni differenziali alle derivate ordinarie. Crescita e decadimento esponenziali. Equazioni del primo ordine. Problema ai valori iniziali. Verifica delle soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del primo ordine lineari e tecnica generale per la loro soluzione. Cenni al modello di crescita logistica. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine. Cenni alla soluzione di equazioni lineari del secondo ordine non omogenee.

Modelli ad un compartimento. Introduzione ai modelli ad un compartimento; tasso relativo e tasso assoluto; tasso di assorbimento e tasso di eliminazione.

Sistemi di equazioni differenziali alle derivate ordinarie. Metodo di riduzione e metodo delle matrici. Traiettorie. Punti di equilibrio. Stabilità dell’origine. Sistemi di due equazioni non lineari: linearizzazione attorno ad un punto di equilibrio e discussione della stabilità. Modello di crescita logistica per la coesistenza di due specie. Modello preda/predatore di Lotka-Volterra con discussione ed interpretazione della stabilità.

Seconda parte del corso

Statistica descrittiva. Introduzione alla statistica. Campioni e popolazioni. Rappresentazione grafica dei dati raccolti. Grandezze che sintetizzano i dati: media, mediana, moda campionarie; quartili e percentili; varianza e deviazione standard campionarie; coefficienti di asimmetria. Box-plot. Insiemi di dati bivariati, diagramma di dispersione. Correlazione. Regressione lineare - metodo dei minimi quadrati.

Teoria della probabilità. Spazio degli eventi, eventi. Eventi incompatibili. Assiomi di Kolmogorov. Spazi equiprobabili. Partizioni. Probabilità condizionata e Teorema di Bayes (cenno). Variabili casuali. Legge di distribuzione di probabilità. Funzione di ripartizione. Funzione densità di probabilità. Valore medio e varianza. Esperimento di Bernoulli e distribuzione binomiale. Leggi di distribuzione di Poisson, esponenziale, normale (e normale standardizzata), chi-quadrato, t di Student.

Distribuzioni delle statistiche campionarie. Introduzione alla inferenza statistica. Media e varianza della media campionaria. Teorema del limite centrale. Correzione di continuità. Valore medio della varianza campionaria. Distribuzione congiunta della media e della varianza campionarie.

Stime parametriche. Stimatori e stime. Intervalli di confidenza bilateri ed unilateri.

Test di ipotesi. Ipotesi nulla ed alternativa. Errori di prima e seconda specie. Livello di significatività e p-dei-dati. Regione critica. Test unilateri e bilateri. Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza nota (Z test). Test su popolazioni non normali. Test su popolazioni con media e varianza incognita (t test). Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale con varianza incognita.

Testi/Bibliografia

Materiale didattico necessario alla preparazione dell'esame sarà fornito dal docente (slides e fogli di esercizi relativi agli argomenti trattati). Tali risorse didattiche saranno caricate in itinere sulla piattaforma Virtuale. 

Per ulteriore approfondimento, si riporta di seguito una lista di testi ausiliari di possibile consultazione:

• J. Stewart, Calculus - Early Trascendentals, 8th Edition, Cencage Learning, 2016
• C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, II Edizione, Zanichelli, 2016
• S. M. Ross, Probabilità e Statistica per l'Ingegneria e le Scienze, II Edizione, Apogeo (2008)

Metodi didattici

Le lezioni frontali sono impostate in modo da mettere in risalto gli aspetti applicativi della materia, in particolare nel campo di applicazione di maggiore interesse per il corso di studi in Scienze Ambientali.

Gli argomenti vengono presentati con numerosi esempi ed esercizi.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica delle conoscenze ed abilità da acquisire avviene tramite una prova scritta. La prova è composta da esercizi su ciascuna delle due parti del corso, oltre che di una o due domande aperte di carattere più teorico. Il punteggio massimo totalizzabile per gli esercizi previsti in ciascuna delle due parti è pari a 16, così che il punteggio massimo dell'intera prova scritta sia pari a 32. Il punteggio per risposte totalmente sbagliate o assenti è pari a zero, non sono previsti punteggi negativi. 

Il tempo a disposizione dello studente per la prova scritta è di 2 ore. Durante la prova non è ammesso l'uso di materiale di supporto quale: libri di testo, appunti, fogli riassuntivi, schemi, cellulari (anche se con app calcolatrici), supporti informatici. E’ consentito l’uso di una semplice calcolatrice personale.

Il voto massimo ottenibile fornendo tutte risposte esatte e complete è quindi pari a 30 e lode, corrispondente ad un punteggio pari a 31 o 32 ottenuto nella prova scritta.

La prova si intende superata con un punteggio minimo di 18, di cui almeno 6 in ciascuna delle due parti. 

Tutti gli esercizi sono confrontabili (per tipologia e per livello di difficoltà) con quelli svolti durante le esercitazioni in aula e con gli esercizi supplementari resi disponibili dal docente durante il corso tramite la piattaforma Virtuale.

La frequenza alle lezioni è molto importante nel processo di apprendimento e fortemente consigliata, ma non influenza in alcun modo il processo di valutazione. 

Non sono previsti elaborati da consegnare prima della data d'esame. 

Per partecipare all'esame è necessario aver superato l'esame di Istituzioni di Matematica I ed occorre prenotarsi tramite AlmaEsami all'appello d'esame scelto, nel rispetto delle scadenze previste.

Allo studente che risulta iscritto alla lista di esame su AlmaEsami il giorno in cui si chiudono le iscrizioni ma non si presenta a sostenerla, ovvero allo studente che durante lo svolgimento della prova scritta manifesta la volontà di ritirarsi, richiedendo al docente di apporre la dicitura RT sui fogli consegnati, è registrato il giudizio RT (ritirato).

Allo studente che consegna il proprio elaborato per la correzione senza dichiarare la volontà di ritirarsi e ne riceve una valutazione insufficiente (voto minore di 18/30) è registrato il giudizio RE (respinto). 

Strumenti a supporto della didattica

Slides ed altro materiale fornito in formato elettronico (fogli di esercizi, ecc. ).

Studenti/sse con disturbi specifici dell’apprendimento (DSA) o disabilità temporanee o permanenti: si raccomanda di contattare per tempo l’ufficio di Ateneo responsabile (https://site.unibo.it/studenti-con-disabilita-e-dsa/it): sarà sua cura proporre agli/lle studenti/sse interessati/e eventuali adattamenti, che dovranno comunque essere sottoposti, con un anticipo di 15 giorni, all’approvazione del/della docente, che ne valuterà l'opportunità anche in relazione agli obiettivi formativi dell'insegnamento. 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Silvia Tozza