B5550 - ANALISI MATEMATICA 2A

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha alcune più avanzate conoscenze dell'Analisi Matematica. Conosce i fondamenti della teoria degli spazi metrici, il calcolo differenziale per funzioni vettoriali di più variabili reali e gli aspetti di base delle equazioni differenziali ordinarie. Lo studente sa applicare tali conoscenze alla soluzione di semplici problemi pratici, posti dalle scienze pure ed applicate.

Contenuti

Spazi metrici: Definizione di spazio metrico, e spazio (vettoriale) normato. Definizione di successione convergente in spazi metrici. Definizione di limite e di continuità in spazi metrici; caratterizzazione topologica della continuità e teorema sulla composizione di funzioni continue. Definizione di punto interno; di accumulazione; punti isolati. Proprietà delle palle in spazi metrici. Definizioni di insieme aperto, chiuso, chiusura, frontiera in spazi metrici. Caratterizzazione di un sottinsieme chiuso in uno spazio metrico completo. Teorema delle contrazioni. Spazio metrico completo. Definizione di insieme (sequenzialmente) compatto. Teorema di Heine Borel (sui sottinsiemi compatti di 𝑅𝑛). Teorema di Weierstrass (sia vettoriale che scalare) e Teorema di Heine- Cantor.

Calcolo Differenziale: Definizione di derivata direzionale e di derivata parziale (casi scalare e vettoriale). Gradiente e matrice Jacobiana. Definizione di funzione differenziabile (sia nel caso scalare che vettoriale) e teorema di caratterizzazione della differenziabilità. Punti estremanti locali di una funzione: definizione di punti di massimo e di minimo locali. Definizione di forma quadratica definita positiva (negativa), indefinita, semidefinita positiva (negativa). Condizione necessaria per la differenziabilità e formula del gradiente. Teorema del valor medio di Lagrange per funzioni di più variabili a valori scalari; funzioni con gradiente nullo su aperti connessi. Teorema di tipo valor medio di Lagrange per funzioni di più variabili a valori vettoriali. Teorema sul differenziale di funzioni composte e regola della catena. Teorema del differenziale totale. Funzioni 𝐶1. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor per funzioni di classe 𝐶2. Caratterizzazione delle matrici definite. Teorema di Fermat. Condizioni necessarie al secondo ordine e condizioni sufficienti al secondo ordine per estremanti locali. Teorema di Dini; Teorema della funzione inversa. Definizione di diffeomorfismo. Definizione di varietà di dimensione 𝑝 in 𝑅𝑛. Relazioni tra varietà e grafico. Teorema sullo spazio tangente ad una varietà. Teorema sullo spazio ortogonale ad una varietà. Il gradiente di una funzione (scalare) è ortogonale agli insiemi di livello. Moltiplicatori di Lagrange.

Equazioni differenziali ordinarie: Definizione di soluzione di un’equazione differenziale (o di un sistema di equazioni differenziali) e di soluzione di un problema di Cauchy. Definizione di unicità delle soluzioni. Equazioni differenziali lineari del I ordine scalari. Equazioni del I ordine a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicità. Enunciato del teorema di Peano e commenti sull’unicità della soluzione. Definizione di funzione localmente Lipschitziana, e teorema di esistenza e unicità locale del problema di Cauchy. Unicità della soluzione. Prolungamento di soluzioni locali e soluzione massimale. Teorema di esistenza globale. Sistemi lineari. Matrice fondamentale e metodo di variazione della costante. Equazioni lineari di ordine 𝑛 e collegamento con i sistemi lineari. Teorema sulla struttura dell'integrale generale di un'equazione di ordine n lineare. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

Testi/Bibliografia

E. Lanconelli: Lezioni di Analisi Matematica 2, prima parte, ed. Pitagora

D. Pagani S.Salsa: Analisi Matematica 2, ed Zanichelli 

Per esercizi:

S. Salsa, A. Squellati Esercizi di Anamisi matematica 2, ed. Zanichelli

P. Marcellini - C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, volume 2, parte prima, ed. Liguori

E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, volume 2, ed. Boringhieri

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per poter accedere all'esame, in ogni sua fase, è sempre obbligatorio iscriversi alle liste degli appelli pubblicate su AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/almaesami/welcome.htm] .

L'esame si suddivide in una prova scritta e una orale-scritta, articolata in due parti. La prova scritta riguarda gli esercizi, ha una durata complessiva di 2 ore e 30'; ad essa si accede previa iscrizione alle liste, aperte su AlmaEsami, dal docente. La prova scritta assegna fino a 15 punti ed è considerata superata totalizzando almeno 8 punti.

Gli studenti che non superano lo scritto dovranno ripetere l'esame.

Gli studenti che superano lo scritto sono quindi ammessi alla successiva fase orale-scritta che avrà luogo in un giorno diverso. La fase orale-scritta, prevalentemente riguardante la teoria, inizia con la somministrazione di una prova scritta della durata di 45' con cui vengono attribuiti 8 punti. Al termine della prova se la somma del punteggio dello scritto con quello della prova propedeutica all'orale è maggiore o uguale a 15, il candidato sarà ammesso all'orale che avrà luogo il giorno stesso sotto forma di un colloquio sui contenuti del corso che il candidato, di norma, deve svolgere alla lavagna. Potranno inoltre essere richiesti ulteriori chiarimenti sulle prove precedenti l'orale svolte dal candidato.

La prova orale attribuisce fino a 12 punti.

Modalità per la determinazione del voto. Se il punteggio dell'orale risultasse minore o uguale a 3, allora, anche se la somma dello scritto e del pre-orale fosse maggiore o uguale a 18, il candidato sarà respinto.

Se la valutazione all'orale fosse maggiore o uguale a 4, allora il voto in trentesimi sarà la somma del punteggio dello scritto, con quello della prova pre-orale più il punteggio della prova orale.

Alcuni esempi: (8,7,3), allora lo studente è respinto; (8,7,4), promosso con 19.

(10,7,3), respinto; (15,8,3), respinto; (15,8,4), promosso con 26; (8,7,12), promosso con 27. (15, 0, 12), promosso con 27.

L'attribuzione della lode, può avvenire, a discrezione del docente, quando la somma tre punteggi, tenuto conto dei vincoli di ammissione, è maggiore strettamente a 30.

Per esempio le seguenti terne: (11,8,12), (15,5,12) potrebbero tradursi in un 30 con lode.

La validità del punteggio delle prove scritte è limitato al solo periodo d'esami (gennaio-febbraio o giugno-luglio o settembre; quindi, il superamento di uno scritto a gennaio-febbraio non potrà essere utilizzato a giugno-luglio o a settembre) in cui sono state sostenute e non hanno validità alcuna per eventuali appelli di periodi d'esami successivi.

Durante la prova scritta e il pre-orale scritto non è consentito l'utilizzo di appunti, libri o strumenti informatici di qualunque genere. In particolare, non è consentito l'uso di cellulari, né di smartwatch, né di auricolari.

Durante la prova orale lo studente deve dimostrare di conoscere i concetti spiegati nel corso (in particolare definizioni e teoremi e le loro dimostrazioni) e di saperli collegare tra loro.

Strumenti a supporto della didattica

Verrà utilizzata la piattaforma Virtuale

Link ad altre eventuali informazioni

https://www.unibo.it/sitoweb/fausto.ferrari/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Fausto Ferrari