27213 - ANALISI MATEMATICA 2 (A-L)

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce conoscenze matematiche di carattere più informativo, utilizzando un'ampia strumentazione di base per affrontare la descrizione di fenomeni fisici diversi. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; calcolare semplici integrali di funzioni in piu' variabili; calcolare semplici integrali di funzioni definite su superfici. In particolare, al termine del corso, lo studente è in grado di: - risolvere problemi di massimo o minimo vincolati; - studiare la convergenza di integrali in piu' variabili; - calcolare integrali superficiali.

Contenuti

Spazi metrici: lo spazio euclideo R^n. Generalità sugli spazi metrici. Limiti e funzioni continue tra spazi metrici. Generalizzazioni dei teoremi di Weierstrass e di Bolzano. Spazi metrici completi. Il teorema delle contrazioni. Un'applicazione al problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie.

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Derivate rispetto a un vettore, derivate parziali. Differenziabilità. Funzioni di classe C^1. Teorema del differenziale totale. Teorema del valor medio. Funzioni di classe C^k. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor per funzioni di più variabili reali. Estremanti relativi e punti critici. Studio dei punti critici mediante la formula di Taylor. Teorema di derivazione di funzioni composte. Funzioni implicite. Teorema di invertibilità locale. Teorema di Dini. Varietà. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Misura e integrazione per funzioni di più variabili reali (introduzione alla misura di Lebesgue). Insiemi misurabili. Funzioni semplici. Funzioni misurabili. Integrale di funzioni misurabili non negative. Funzioni sommabili. Confronto degli integrali di Riemann e Lebesgue in dimensione uno. Integrali di Lebesgue come integrali generalizzati. Principio di Cavalieri. Teoremi di riduzione di Tonelli e Fubini. Teorema del cambiamento di variabile. Alcuni cambiamenti di variabile notevoli.

Curve e integrali curvilinei. Cammini continui. Cammini equivalenti. Loro lunghezza. Riduzione di essa (sotto condizioni opportune) a un integrale. Integrali curvilinei di prima specie e loro interpretazione fisica. Integrali curvilinei di seconda specie e loro interpretazione fisica. Campi vettoriali. Campi vettoriali esatti. Campi vettoriali conservativi. Teorema di Poincaré. Campi vettoriali centrali.

Aperti regolari in R^2. Formule di Gauss-Green nel piano. Prodotto vettoriale in R^3. Superfici regolari con bordo semplici, aperte. Superfici regolari a tratti. Area di una superficie e integrali di superficie. Spazio tangente e spazio normale a una superficie in un suo punto. Orientamento di una superficie regolare con bordo semplice aperta. Aperti regolari in R^3. Versori normali a una superficie in un suo punto. Formule di Gauss-Green in R^3. Formula di Stokes.

Testi/Bibliografia

Appunti del docente.

Per approfondimenti:

G. Molteni, M. Vignati; Analisi Matematica 3 (Cortina)

E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Boringhieri)

W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill) 3a edizione

Davide Guidetti, Analisi Matematica B (2024)

 

 

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame costituito da due prove scritte, una di esercizi e una di teoria, entrambe obbligatorie, da sostenersi nella stessa sessione. Ammissione alla prova di teoria è subordinata a un punteggio minimo di 18/30 nella prova di esercizi.

Nello svolgimento della prova di esercizi il candidato deve giustificare i risultati ottenuti.

Strumenti a supporto della didattica

Dispensa del corso su Virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Arcozzi