B0319 - STOCHASTIC CALCULUS I

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, the students know the fundamentals of the theory of stochastic processes in discrete and continuous time that naturally intervene in applications in Physics, Economics, Biology and Engineering.

Contenuti

Il corso si svolge nel primo semestre del prim’anno ed ha un naturale proseguimento nel corso di Equazioni Differenziali Stocastiche che si tiene nel secondo semestre.

Al termine del corso, lo studente conosce i fondamenti della teoria dei processi stocastici in tempo discreto e continuo, in particolare della teoria delle martingale e dei processi di Markov. Sa usare le competenze acquisite nei modelli matematici per le scienze applicate, data science e ingegneria.

Per informazioni dettagliate si veda Virtuale e il sito web del corso

Programma

Introduzione ai processi stocastici. Spazio delle traiettorie. Legge e distribuzioni finito-dimensionali. Processi Gaussiani. Equivalenza di processi: equivalenza in legge, modificazioni, indistinguibili. Esistenza: Teorema di estensione di Kolmogorov. Il caso dei processi Gaussiani. Richiami su attesa condizionata. Filtrazioni e martingale. Teorema di decomposizione di Doob: il caso discreto. Legge di transizione di un processo. Processo di Markov. Proprietà di Markov “estesa”. Processi a incrementi indipendenti, di Markov e martingale. Distribuzioni finito-dimensionali di un processo di Markov. Equazione di Chapman-Kolmogorov. Esistenza. Legge di transizione di Poisson e Gaussiana. Generatore infinitesimale di un processo di Markov.

Processo di Poisson: definizione e principali proprietà. Processi stocastici continui. Teorema di continuità di Kolmogorov: applicazione al caso Gaussiano. Il moto Browniano: definizione e caratterizzazione come processo Gaussiano. Proprietà di Markov e martingala.

Tempi d’arresto discreti. Teorema di optional sampling. Disuguaglianze massimali di Doob. Lemma di upcrossing. Il caso continuo: le ipotesi usuali. Optional sampling, disuguaglianze massimali e lemma di upcrossing nel caso continuo. Esistenza di modificazioni cadlag di martingale. Funzioni BV.

Teoria della variazione. Integrale di Riemann-Stieltjes e formula di Ito deterministica. Integrale di Lebesgue-Stieltjes. Variazione quadratica del moto Browniano. Martingale continue a variazione limitata. Processo variazione quadratica di una martingala continua di quadrato sommabile. Processo matrice di covariazione.

Moto Browniano multidimensionale. Moto Browniano correlato. Costruzione dell’integrale stocastico rispetto al moto Browniano. Processi progressivamente misurabili. Il caso dei processi semplici: isometria di Ito, proprietà di martingala dell’integrale e variazione quadratica dell’integrale stocastico. Integrale stocastico in L^2. Martingale locali. Integrale stocastico in L^2_loc. Processi di Ito.

Formula di Ito uno-dimensionale per il moto Browniano. Moto Browniano geometrico come soluzione di un’equazione stocastica lineare. Moto Browniano ed operatore del calore. Integrale stocastico rispetto ad una martingala (locale) continua e rispetto ad un processo di Ito. Formula di Ito uno-dimensionale. Processi di Ito a coefficienti deterministici. Processi di Ito multidimensionali e formula di Ito. Esempi ed applicazioni: formula di Feynman-Kac per il moto Browniano. Problema di Dirichlet per l’operatore di Laplace e per l’operatore del calore.

L'insegnamento partecipa al progetto di innovazione didattica dell'Ateneo.

Testi/Bibliografia

Dispensa come riferimento per i risultati di probabilità “elementare” e per la parte sui processi stocastici

A. Pascucci, Probability Theory II, Springer (2024)

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Si vedano le istruzioni su Virtuale.

Strumenti a supporto della didattica

Si veda la pagina web del corso.

Link ad altre eventuali informazioni

https://1drv.ms/w/c/6522c228f5a947a1/ERHZvdSx5wVLkI6WH4xfHQgBe8TrvlmQm3TOX9oGvkX1qw?e=LzQUdn

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Pascucci

Consulta il sito web di Stefano Pagliarani