46146 - ANALISI NON LINEARE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce alcuni degli aspetti della teoria non lineare con particolare riferimento alle equazioni a derivate parziali. In particolare è in grado di riconoscere aspetti specificatamente non lineari della teoria considerata.

Contenuti

Il corso esplora alcuni aspetti variazionali all'interno della cosiddetta Teoria dei Punti Critici.
In particolare i funzionali presi in considerazione sono in generale indefiniti, per cui i metodi classici (o diretti) del Calcolo delle variazioni non si applicano.
Le tecniche utilizzate sono quindi di natura topologica: minimax, passo montano, teoremi di linking in generale.
Gli strumenti alla base di questi metodi sono essenzialmente riconducibili ad una opportuna proprietà di compattezza (di Palais-Smale) ed al Lemma di Deformazione.
Come conseguenza della Teoria, si ottengono teoremi di esistenza di soluzioni per equazioni differenziali, le quali corrispondono alle equazioni di Eulero-Lagrange di opportuni funzionali.
Come applicazioni si considerano in particolare due tipi di problemi, di natura geometrica/fisica: nel primo caso si tratteranno soluzioni di PDEs di tipo ellittico; nel secondo si studieranno orbite periodiche di sistemi Hamiltoniani.
Il corso è essenzialmente auto-contenuto: le nozioni necessarie verranno richiamate o definite in fase preliminare, basandosi comunque sui corsi fondamentali di Analisi della Laurea Triennale, come prerequisiti.

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Richiami e preliminari
- Differenziale di Fréchet e di Gateaux.
- Funzioni debolmente continue. Funzioni compatte.
- Spazi di Sobolev. Soluzioni deboli.

Alcuni modelli.
- Ricerca di soluzioni deboli per un problema di Dirichlet non lineare per il Laplaciano.
- Ricerca di soluzioni deboli periodiche per un sistema Hamiltoniano non lineare.

Lemma di deformazione.
- Successioni di Palais-Smale.
- Condizione di compattezza di Palais-Smale.
- Pseudo-gradienti.

Primi teoremi di minimax
- Principio di minimax di Palais.
- Teorema del passo montano.
- Applicazioni a PDEs di tipo ellittico. I

Teoremi di linking.
- Link in dimensione finita.
- Grado di Brouwer.
- Applicazioni a PDEs di tipo ellittico. II
- Link relativo in dimensione infinita.
- Grado di Leray–Schauder.
- Applicazioni a sistemi Hamiltoniani.

Testi/Bibliografia

- M.Struwe, Variational Methods; Springer
- A.Ambrosetti, A.Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems; Cambridge University Press
- P.H.Rabinowitz, Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations; AMS-CBMS

Metodi didattici

Lezioni frontali in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale finale, la quale è strutturata in due parti: la prima parte consiste nella trattazione di un argomento a piacere, in cui si valuta la capacità di esporre l'argomento in maniera chiara e precisa ed il grado di profondità nello studio raggiunto dallo studente; la seconda parte consiste in alcuni quesiti a risposta aperta che riguardano i vari argomenti trattati durante il corso.

Per sostenere la prova finale lo studente può contattare il docente e concordare una data via mail.

Strumenti a supporto della didattica

Materiale riguardante i vari argomenti trattati nel corso si potrà trovare sulla piattaforma Virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Vittorio Martino