27210 - ANALISI MATEMATICA 1 (A-L)

Anno Accademico 2024/2025

  • Docente: Berardo Ruffini
  • Crediti formativi: 12
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea in Fisica (cod. 9244)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce nozioni di base del calcolo infinitesimale e integrale, sviluppando insieme l'abitudine al ragionamento scientifico e una sensibilità all'analisi di modelli matematici, soprattutto tramite lo studio dello sviluppo asintotico di funzioni. Inoltre è in grado di compiere uno studio dettagliato di funzioni in una variabile, di successioni e serie sia numeriche che di funzioni.

Contenuti

LOGICA MATEMATICACenni di logica. Simboli e tipologie di dimostrazione.

INSIEMI

Definizione degli insiemi numerici N,Z,Q,R.
Dimostrazioni per induzione.
Costruzione assiomatica dei reali. Esistenza di estremo inferiore e superiore di un insieme.

Cardinalità di un insieme, numerabilità dei razionali, non numerabilità dei numeri reali.

L'insieme delle parti di un dato insieme ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme.

 ELEMENTI DI TOPOLOGIA DELLA RETTA

Valore assoluto e sue proprietà.
Definizione di sottoinsieme aperto.
Definizione di insieme chiuso.
Definizione di punto di accumulazione.
Definizione di insieme limitato.
Definizione di insieme compatto.
Definizione di insieme connesso.

SUCCESSIONI E SERIE

Definizione di successione convergente.
Algebra dei limiti.
Definizione di successione divergente.
Teorema del confronto.
Le successioni monotone e limitate sono convergenti.
Definizione del numero e.
Successioni di Cauchy e seconda definizione della completezza (una successione in R è convergente se e solo se è di Cauchy).
Definizione di serie convergente.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Serie a termini non negativi (criteri del rapporto, della radice e di condensazione).
Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata.
Convergenza assoluta.
Criterio di Leibniz (per serie a segno alterno).

FUNZIONI

Definizione (ed esistenza) della radice n-esima di un numero non negativo.
Definizione dell'elevamento a potenza con esponente reale.
Funzioni continue (definizione e principali teoremi: teorema degli zeri, teorema del valore intermedio e teorema di Weierstrass).
Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.
Definizione delle funzioni elementari (elevamento a potenza con esponente reale, esponenziale, logaritmi, funzioni trigonometriche con relative funzioni inverse).
Continuità delle funzione elementari.
Continuità della funzione inversa di una funzione continua ed invertibile definita su di un intervallo connesso.

DERIVATE

Definizione di derivata.
Algebra delle derivate.

Derivata della funzione composta.

Derivata della funzione inversa.
Derivabilità delle funzioni elementari.
I Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e De L'Hopital.
Formula di Taylor con resto secondo Peano, integrale e di Lagrange.

INTEGRALE

Primitive

Teorema di Darboux.

Definizione di integrale di Riemann di una funzione limitata.
Integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue (e limitate).
Proprietà dell'integrale.
Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione metodo dei fratti semplici (con radici reali o complesse di molteplicità arbitraria).
Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale.

Integrali impropri

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

Convergenza uniforme di una successione di funzioni.

Completezza dell'insieme delle funzioni continue definite su di un compatto rispetto alla distanza associata alla norma uniforme.

Passaggio al limite sotto al segno di integrale.

Convergenza totale di una serie di funzioni continue.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine.

Metodo della variazione della costante arbitraria.

Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenee e non omogenee, ossia con un termine di "sorgente").

Risoluzione del problema di Cauchy per le precedenti classi di equazioni.

Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti variabili.

Teorema delle contrazioni.

Teorema di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine (a valori scalari e vettoriali).

 


Testi/Bibliografia

  • E.Giusti. Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri Editore.
  • G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.
  • P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
  • M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.

Metodi didattici

 

Teoria ed esercizi durante le lezioni frontali


Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento


Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto (obbligatorio): la prova consiste nella risoluzione di esercizi sugli argomenti del corso. I problemi riguardano: lo studio di funzione, il calcolo di numeri complessi, il calcolo dei limiti, lo studio della convergenza di serie numeriche e funzionali, la risoluzione di integrali ed equazioni differenziali ordinarie. Si può sostenere l'esame la parte teorica avendo ottenuto almeno 18 allo scritto.

Esame teorico: una parte scritta su di un sottoprogramma e una parte orale facoltativa. I dettagli saranno forniti durante le lezioni.

Strumenti a supporto della didattica

Esercizi proposti sul portale virtuale.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Berardo Ruffini