00020 - ANALISI SUPERIORE

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso gli studenti hanno una conoscenza della moderna teoria delle distribuzioni e della trasformata di Fourier. Questi sono strumenti basilari per comprendere la moderna teoria delle Equazioni alle derivate parziali.

Contenuti

Sommario:

Metodo delle caratteristiche per la risoluzione delle equazioni alle derivate parziali del primo ordine. Studio della teoria delle distribuzioni e delle loro trasformate di Fourier.

Descrizione dettagliata:

Metodo delle caratteristiche, I: introduzione e motivazione.

Metodo delle caratteristiche, II: soluzione di sistemi di PDE. Topologia di C^\k(D).

Funzioni test e loro proprieta’. Costruzione di funzioni test.

Definizione di distribuzione ed esempi.

Discussione dell'equazione di Poisson ``in senso distribuzioni’’ Ulteriori esempi di distribuzioni (regolari; singolari). Caratterizzazione di D'(D).

Definizione e proprieta' della topologia TLS.

Identificazione di D'(D) come lo spazio duale delle funzioni test nella topologia TLS.

Localizzazione e saldatura di distribuzioni. Motivazione: supporto di funzioni continue.

Supporto di una distribuzione ed esempi. Derivata distribuzionale: definizione ed esempi.

Teorema sulla rappresentazione degli elementi di D'(D) come derivate di funzioni limitate.

Prodotto puntuale distribuzione per funzione liscia: definizione, esempi e proprieta'.

Teorema sulla regolarita' di una funzione singolare in punto ma con derivata integrabile in un intervallo della retta.

Teorema di estensione del dominio di una distribuzione. Distribuzioni a supporto compatto: definizione e caratterizzazione come il duale delle funzioni lisce nella topologia metrica indotta dalla famiglia di seminorme.

l'Esempio di Schwartz.

Il teorema sul nucleo di una distribuzione a supporto compatto.

Il teorema sulla decomposizione di una distribuzione supportata in un singolo punto come combinazione lineare della delta di Dirac e delle sue derivate. Definizione di convoluzione di una distribuzione in R^n con una funzione test; dimostrazione della proprieta' di associativita'. Definizione della convoluzione di una funzione a supporto compatto con una funzione liscia (non necessariamente a supporto compatto) e proprieta' analoghe a quelle della convoluzione di una distribuzione con funzioni test.

Il teorema di regolarizzazione di una distribuzione e, come corollario, la densita' delle funzioni test nelle distribuzioni. Osservazioni sull'operatore di traslazione.

Definizione della convoluzione di due distribuzioni, di cui almeno una a supporto compatto.

Dimostrazione della proprieta' di commutativita'.

Dimostrazione della proprieta' di associativita' per la convoluzione di tre distribuzioni di cui almeno due hanno supporto compatto. Rappresentazione delle derivate mediante convoluzioni; come applicazione, rappresentazione della derivata della convoluzione di due distribuzioni.

Trasformata di Fourier per funzioni in L^1: definizione e proprieta’.

La classe di Schwartz, S: definizione e proprieta' elementari, tra cui la proprieta' di immersione continua in L^1.

La trasformata di Fourier e'un isomorfismo su S. S e' immerso in L^2 con immersione continua. Formula di Parseval.

Distribuzioni temperate, S’: motivazione; definizione; immersioni continue negli spazi di Lebesgue.

Definizione della trasformata di Fourier su S’: proprieta' di isomorfismo; formula di inversione su S’.

Trasformata di Fourier in L^2 (Thm. di Plancherel).

Teorema di Paley-Wiener-Schwartz.

Testi/Bibliografia

 

 

1. L. Hörmander: Linear Partial Differential Operators, Springer Edizione del 1969, primo capitolo.
2. L. Grafakos: Classical Fourier analysis, terza edizione (2014), secondo capitolo sezioni 2.2; 2.3; 2.4; quinto capitolo sezione 5.1.1.
3. L. Hörmander: Linear Partial Differential Operators I, Springer seconda edizione 1990, capitoli 2, 3, 4, 6, 7.
   
4. F.G. Friedlander. Introduction to the theory of distributions. Second edition. With additional material by M. Joshi. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
   
5. C. Parenti e A. Parmeggiani, Algebra Lineare ed Equazioni Differenziali Ordinarie, seconda edizione, Springer Unitext 117, capitolo 5.
6. C. Zuily: Eléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles. Dunod.

Metodi didattici

 

 

Lezioni frontali di teoria affiancata da esercizi, esempi ed applicazioni, con riguardo anche agli interessi degli studenti del curriculum applicativo.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame relativo a questa componente del corso integrato (00020 - ANALISI SUPERIORE - 6 cfu) consiste in una prova orale che si svolge a partire da un argomento scelto dallo studente fra gli argomenti coperti dal corso. Seguiranno domande  sulla prova di teoremi dimostrati a lezione; la soluzione di esercizi presentati dal docente durante la lezione o assegnati dal docente come pratica da fare a casa; la discussione di esempi presentati dal docente durante la lezione, o assegnati dal docente come letture integrative.

Il voto finale attribuito allo studente è dato dalla media dei voti assegnati per i due moduli del corso, con arrotondamento all'unità superiore. Il voto 29 in questa componente non preclude la lode per il voto del corso integrato.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Loredana Lanzani