04524 - ANALISI NUMERICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente conosce gli aspetti numerico-matematici e le principali metodologie algoritmiche che gli permettono di risolvere al calcolatore problemi di interesse nell'ingegneria. In particolare: i metodi di algebra lineare numerica per risolvere sistemi lineari e non lineari, problemi lineari ai minimi quadrati, modelli differenziali. Lo studente effettua esercitazioni e progetti svolti insieme al docente in laboratorio con l’ausilio del software MATLAB.

Contenuti

1. Numeri Finiti - Rappresentazione floating point dei numeri reali. I numeri di macchina o floating point. Errori di rappresentazione. Aritmetica floating point. Analisi dell'errore nelle operazioni aritmetiche elementari. Propagazione degli errori: condizionamento di un problema e stabilità dell'algoritmo risolutivo.

2. Richiami di Algebra Lineare - Richiami su vettori, matrici e spazi vettoriali. Norme di vettori e norme di matrici.

3. Zeri di Funzioni - Formulazione del problema. Tecniche di risoluzione. Metodi iterativi, convergenza e ordine dei metodi. Metodi a convergenza globale e a convergenza locale. Metodo di bisezione, di Newton e delle secanti. Metodi iterativi di punto fisso. Teoremi di convergenza.

4. Soluzione numerica di Sistemi Lineari - Numero di condizionamento di una matrice e condizionamento del problema. Algoritmo di eliminazione Gaussiana e fattorizzazione LU di una matrice. Stabilità della fattorizzazione LU. Strategie pivotali. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche e definite positive. Metodo di Householder e fattorizzazione QR di matrici rettangolari. Proprietà dei metodi introdotti.

5. Approssimazione ai minimi quadrati - Metodo delle equazioni normali e metodo QRLS (risoluzione del problema ai minimi quadrati utilizzando la fattorizzazione QR). Proprietà dei due metodi.

6. Interpolazione - Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolatore. Forma di Lagrange e forma di Newton. Espressione dell'errore nell'interpolazione polinomiale. Problemi di convergenza. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale.

7. Integrazione Numerica - Formule di quadratura di Newton-Cotes (formula dei trapezi e di Simpson). Formule semplici e formule composite. Errore delle formule di quadratura semplici e composite. Quadratura adattiva.

Testi/Bibliografia

Fondamentale sarà l'utilizzo degli appunti presi a lezione e del materiale informatico reso disponibile all'indirizzo https://virtuale.unibo.it/

 

+ Per ulteriori approfondimenti si consigliano:

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio: Matematica Numerica (4a edizione), Springer, 2014.

[2] A. Quarteroni: Matematica Numerica - Esercizi, Laboratori e Progetti (2a edizione), Springer, 2013.

[3] A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio: Calcolo Scientifico - Esercizi e problemi risolti con MATLAB e Octave (6a edizione), Springer 2017.

 

+ Libri più datati, solo per i più appassionati:

[4] R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna, 1992.

[5] D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1996.

 

+ Infine, per chi desiderasse un testo in inglese, si consigliano:

[6] E. E. Mikhailov: Programming with MATLAB for Scientists: A Beginner’s Introduction, CRC Press, Inc., 2017. 

[7] A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio: Scientific Computing with MATLAB and Octave (4th edition), Springer, 2014.

[8] U. M. Ascher, C. Greif: A first Course in Numerical Methods, SIAM, 2011.

[9] C. Moler: Numerical Computing with MATLAB, SIAM, 2004.

Metodi didattici

Il corso è strutturato in lezioni frontali ed esercitazioni nel laboratorio informatico. Più precisamente, alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici di base per risolvere problemi classici della matematica mediante l'uso di un calcolatore, fanno seguito esercitazioni nel laboratorio informatico che mirano all'implementazione di tali metodi in MATLAB e allo sviluppo di un'adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo.

In considerazione della tipologia di attività e dei metodi didattici adottati, la frequenza di questa attività formativa richiede la preventiva partecipazione di tutti gli studenti ai Moduli 1 e 2 di formazione sulla sicurezza nei luoghi di studio [https://elearning-sicurezza.unibo.it/] in modalità e-learning.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame di fine corso mira a verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi didattici:

- conoscenza degli elementi fondamentali del calcolo numerico illustrati durante le lezioni frontali;

- capacità di impiegare i metodi numerici di base per risolvere mediante il calcolatore problemi matematici di usuale interesse nell'ingegneria.

La prova d'esame (la cui valutazione è in trentesimi) si svolgerà in laboratorio. Lo studente avrà a disposizione 90 minuti per risolvere due esercizi che richiedono, sia la realizzazione al calcolatore di codici MATLAB per la risoluzione di problemi numerici, sia la risposta scritta a domande teoriche su argomenti trattati nelle lezioni frontali.

Durante la prova d'esame non possono essere consultati libri di testo, appunti, o strumenti informatici di supporto.

Per partecipare alla prova d'esame lo studente deve iscriversi nelle liste disponibili sulla piattaforma web AlmaEsami. Il giorno dell'esame lo studente potrà accedere al laboratorio e sostenere la prova solo se provvisto di un documento di riconoscimento.

Le date delle prove d'esame sono consultabili sulla piattaforma web AlmaEsami dell'Ateneo di Bologna e risultano visibili con vari mesi di anticipo.

Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un'attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software MATLAB. Il relativo materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile all'indirizzo https://virtuale.unibo.it/

Gli studenti potranno anche beneficiare del supporto di un tutor didattico che li aiuterà nella risoluzione degli esercizi assegnati dal docente durante il corso.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Lucia Romani