09757 - GEOMETRIA E ALGEBRA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente possiede le conoscenze sul metodo deduttivo, l'uso degli algoritmi per l'algebra lineare di base e la geometria lineare di base del piano e dello spazio, comprese coniche e quadriche. In particolare, si sono acquisiti strumenti di algebra matriciale.

Contenuti

1. Richiami di teoria: Insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali, classi di resto). Polinomi e loro scomposizione. Operazioni e loro proprietà. Esempi ed esercizi.
   
2. Sistemi lineari: Equazioni lineari, soluzioni, sistemi equivalenti, sistemi omogenei. Metodi risolutivi, matrici associate ad un sistema, riduzione a scala (algoritmo di Gauss), rango, teorema di Rouchè-Capelli. Esercizi di risoluzione di sistemi lineari anche con parametro.
3. Calcolo matriciale: operazioni con le matrici (somma, prodotto riga per colonna), matrice trasposta, matrici simmetriche e antisimmetriche, matrice inversa e metodi di inversione (sistema lineare e riduzione per riga). Esempi ed esercizi.
4. Spazi vettoriali: definizione, esempi, proprietà elementari, sottospazi e intersezione con esercizi. Combinazioni lineari, lineare indipendenza/dipendenza. Insiemi di generatori. Lemma della cardinalità. Basi e dimensione. Criteri per stabilire la lineare indipendenza/dipendenza e per stabilire se un insieme genera. Completamento a una base ed estrazione di base. Esempi ed esercizi.
5. Span e somma di spazi vettoriali, formula di Grassmann, somma diretta e scomposizione di vettori. Richiamo al teorema di Rouchè-Capelli in funzione della formula di Grassmann.
6. Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
7. Applicazioni lineari: definizione, esempi, composizione, nucleo e immagine/iniettività e suriettività. Criteri di esistenza e unicità per applicazioni lineari. Teorema delle dimensioni. Spazio vettoriale delle applicazioni.
8. Matrici e applicazioni lineari: matrice associata alla base canonica. Interpretazione geometrica delle applicazioni lineari. Matrice di un’applicazione con basi qualsiasi. Cambio di coordinate e cambio di base.
9. Determinante: definizione tramite lo sviluppo di Laplace/matrici dei cofattori. Proprietà del determinante. Esercizi.
10. Endomorfismi lineari: autovalori, autovettori, polinomio caratteristico. Criteri di diagonalizzabilità/triangolarizzabilità di un endomorfismo. Esempi ed esercizi.
11. Applicazioni bilineari, forme bilineari e quadratiche.
12. Prodotti scalari, ortogonalità, basi ortogonali e ortonormali. Matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt.
13. Coniche e quadriche. 

 

Testi/Bibliografia

Libri di testo:

• Marco Abate "Algebra Lineare" (McGraw-Hill, 2000)
  

• Stefano Francaviglia "Geometri e Algebra T. (Aggiornamento 2017)" ISBN 9780244020736

Raccolta di esercizi d'esame:

• Stefano Francaviglia "Test di Algebra Lineare" ISBN 9781540411921

Metodi didattici

L'insegnamento partecipa al progetto di innovazione didattica dell'Ateneo.

Nel corso di quest'anno sarà sperimentata la cosiddetta didattica invertita e sarà usato il metodo Blended (ci saranno sia lezioni frontali tradizionali che lezioni online.)

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto con modalità test a risposta multipla + prova orale tradizionale alla lavagna.

Gli esami sono in presenza.

Strumenti a supporto della didattica

Saranno preparate schede di supporto alle lezioni online. Altro materiale disponibile sul sito del docente e/o sulla piattaforma Virtuale. Sarà creato un forum di domande e risposte.

Link ad altre eventuali informazioni

https://sites.google.com/view/filipposarti/teaching

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Filippo Sarti