28377 - GEOMETRIA 3

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente ha la corretta interpretazione matematica delle curve e delle superficie dello spazio e le basi della teoria delle funzioni di una variabile complessa, con particolare rilievo al punto di vista geometrico. Sa utilizzare le conoscenze acquisite per analizzare concetti ed esempi classici fondamentali. E' in grado di applicare tali conoscenze alle altre discipline matematiche e alla risoluzione di semplici problemi posti dalle scienze applicate. Possiede abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni e ai programmi dei corsi di laurea di secondo livello, in particolare allo studio di argomenti piu' avanzati di geometria differenziale e complessa.

Contenuti

Primo semestre (modulo 1)

Teoria dei rivestimenti: proprietà di sollevamento, rivestimento universale, classificazione dei rivestimenti, trasformazioni di rivestimento.

Complessi di celle. Classificazione delle superfici topologiche.

Curve differenziabili in R^3. Superfici differenziabili in R^3: prima e seconda forma fondamentale, curvatura, teorema egregio, teorema di Gauss-Bonnet. Cenni a varietà differenziabili astratte.

 

Secondo semestre (modulo 2)

Analisi complessa in una variabile: serie di potenze e funzioni analitiche; funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann; forme differenziali ed integrazione; formula integrale di Cauchy e teoremi fondamentali della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.

Cenni alle superfici di Riemann: superfici astratte; strutture complesse su superfici; forme e campi olomorfi su superfici; formula di Riemann-Hurwitz; formula genere-grado; curve ellittiche; superfici iperboliche.

Testi/Bibliografia

• Hatcher, Algebraic Topology
• Manetti, Topologia
• Do Carmo, Differential Geometry of Curves & Surfaces
• Pressley, Elementary Differential Geometry
• J. Milnor, Topology from the Differential Viewpoint
• S. Donaldson, Riemann Surfaces
• Benetetti & Petronio, Lectures on Hyperbolic Geometry
• Freitag Busam, Complex Analysis
• Stein, Complex Analysis

Metodi didattici

Lezioni con lavagna.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene in modo indipendente per i due semestri del corso. Una volta superati i semestri con voti pari ad almeno 18/30, si può verbalizzare l'esame (con voto dato dalla media dei voti ottenuti nei due semestri).

Il voto di un singolo semestre ha validità di 12 mesi. In altre parole, i due semestri devono essere superati entro 12 mesi l'uno dall'altro.

Per studenti che hanno seguito il corso di Geometria 3 prima dell'anno accademico 2023/24, rimangono validi i voti dei singoli semestri eventualmente ottenuti con le professoresse Manaresi o Idà. In questo caso, la validità è eccezionalmente estesa a 24 mesi ma non va oltre la sessione di gennaio/febbraio 2025.

 

Modalità d'esame per ciascuno dei due semestri

Vi è una prova scritta seguita da una prova orale. Le due prove devono essere sostenute nella stessa sessione d'esami. Si può accedere alla prova orale ottenendo almeno 16/30 nella prova scritta. Il voto finale viene determinato dalla prova orale.

Consegnare il proprio elaborato al termine di una prova scritta rende invalido l'eventuale voto precedentemente ottenuto in una prova scritta o orale. Non si può ripetere la prova orale senza superare nuovamente la prova scritta.

La prova scritta ha la durata di 2 ore. Durante la prova scritta è consentito tenere con sé un singolo foglio protocollo a quadretti (o due fogli A4), scritto a mano in dimensioni ragionevoli (non più di una riga di testo per quadretto), contenente qualunque risultato venga ritenuto utile ai fini dello scritto. Non sono ammessi altri materiali di consultazione, come libri o appunti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Giovanni Paolini

Consulta il sito web di