27210 - ANALISI MATEMATICA 1 (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente acquisisce nozioni di base del calcolo infinitesimale e integrale, sviluppando insieme l'abitudine al ragionamento scientifico e una sensibilità all'analisi di modelli matematici, soprattutto tramite lo studio dello sviluppo asintotico di funzioni. Inoltre è in grado di compiere uno studio dettagliato di funzioni in una variabile, di successioni e serie sia numeriche che di funzioni.

Contenuti

LOGICA MATEMATICA
Cenni di logica. Simboli e tipologie di dimostrazione.

INSIEMI NUMERICI
Definizione degli insiemi numerici N,Z,Q,R.
Ordinamento totale di R. Esistenza di estremo inferiore e superiore di un sottoinsieme di R. Principio di induzione.
(Cardinalità di un insieme, numerabilità dei razionali, non numerabilità dei numeri reali.)
Binomio di Newton.

NUMERI COMPLESSI
Definizione di numero complesso e sua rappresentazione sul piano di Gauss. Parte reale, parte immaginaria, modulo, coniugato e loro proprietà.
Operazioni sui numeri complessi.
Forma trigonometrica e forma algebrica di un numero complesso, passaggio da una forma all’altra. (Formula di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso.) Potenze e radici dei numeri complessi: formula di De Moivre e radici n-sime dell’unità. Equazioni algebriche e teorema fondamentale dell’algebra.

FUNZIONI
Funzioni reali di variabile reale. Simmetrie, periodicità, monotonia, invertibilità. Funzioni elementari, definizione (ed esistenza) della radice n-esima di un numero non negativo, definizione dell'elevamento a potenza con esponente reale.

LIMITI

ELEMENTI DI TOPOLOGIA DELLA RETTA: Valore assoluto e sue proprietà. Intervalli, insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti. Punti di accumulazione e punti isolati.

LIMITI: definizione di limite, unicità del limite, teorema di permanenza del segno, teoremi del confronto, algebra dei limiti.

SUCCESSIONI: definizione di successione convergente, divergente, indeterminata. Teorema sui limiti di successioni monotone. Definizione del numero di Nepero.

FUNZIONI CONTINUE: definizione di continuità, diversi tipi di discontinuità. Principali teoremi: teorema degli zeri, teorema del valore intermedio e teorema di Weierstrass.

Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.
Continuità delle funzione elementari.
Continuità della funzione inversa di una funzione continua ed invertibile definita su un intervallo.

DERIVATE
Definizione di derivata. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivabilità delle funzioni elementari. I Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e De L'Hopital. Formula di Taylor con resto secondo Peano, integrale e di Lagrange.

INTEGRALE
Primitive. Definizione di integrale di Riemann di una funzione limitata. Integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue (e limitate). Proprietà dell'integrale. Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione, metodo dei fratti semplici (con radici reali o complesse di molteplicità arbitraria). Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrali impropri

SERIE
Definizione di serie convergente, divergente o indeterminata. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi (criteri del rapporto, della radice e di condensazione). Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata. Convergenza assoluta. Criterio di Leibniz (per serie a segno alterno).

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenee e complete). Metodo della variazione della costante arbitraria e metodo di somiglianza. Risoluzione del problema di Cauchy per le precedenti classi di equazioni. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti variabili. Teorema delle contrazioni. Teorema di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine.

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
Convergenza uniforme di una successione di funzioni. (Completezza dell'insieme delle funzioni continue definite su di un compatto rispetto alla distanza associata alla norma uniforme.) Passaggio al limite sotto al segno di integrale. Convergenza totale di una serie di funzioni continue.

Testi/Bibliografia

• C. Canuto, A. Tabacco. Analisi matematica 1, Pearson  -- teoria ed esercizi
• G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht. Elementi di analisi  matematica 1, Zanichelli  -- solo teoria
• P.Marcellini, C.Sbordone. Analisi Matematica uno, Liguori Editore  -- solo teoria
• C.Pagani, S.Salsa. Analisi matematica 1, Zanichelli -- teoria ed esercizi
• E.Giusti. Analisi matematica 1, Bollati Boringhieri -- teoria ed esercizi
• S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli -- esercizi  

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto sulla parte di esercizi
La prova consiste nella risoluzione di esercizi sugli argomenti del corso: studio di funzione, numeri complessi, calcolo dei limiti, studio della convergenza di serie numeriche e di funzioni, risoluzione di integrali ed equazioni differenziali ordinarie.

Esame di teoria
L'esame di teoria consiste in una parte scritta obbligatoria e una parte orale facoltativa. Si accede all'esame di teoria solo dopo aver superato l'esame sulla parte di esercizi con un voto maggiore o uguale a 18. 

Le modalità d'esame dettagliate verranno spiegate a lezione e pubblicate su Virtuale.

Strumenti a supporto della didattica

Risorse didattiche su Virtuale

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Francesca Colasuonno