34740 - STORIA DELLA MATEMATICA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente: - possiede un'approfondita conoscenza storica ed epistemologica dei principali temi-chiave della matematica e del pensiero matematico; possiede altresì una buona visione panoramica generale dell'evoluzione della matematica e del pensiero matematico; - è in grado di usare questi strumenti culturali da un punto di vista professionale, applicandoli alla 'teoria degli ostacoli' e dunque alla valutazione ed all'intervento concreto ed efficace relativo ad alcune difficoltà oggettive degli studenti nell'apprendimento della matematica; - è in grado di usare queste conoscenze per la elaborazione di materiali didattici efficaci da sperimentare in aula.

Contenuti

Capitolo 3.Il corso è suddiviso in 3 moduli:

Modulo 1 (Alessandro Gimigliano) 40 ore I semestre, Settembre-Ottobre.

Modulo 2 (Maria Giulia Lugaresi) 24 ore, II semestre.

Modulo 3 (SIlvia Benvenuti) 20 ore, II semestre.

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  Il corso ha come oggetto la presentazione di alcuni dei principali risultati delle varie discipline matematiche per orientare gli studenti sul loro sviluppo storico. Il corso si propone di fornire agli studenti strumenti per progettare e sviluppare metodologie di insegnamento della matematica a partire dall’utilizzo delle fonti storiche originali.

Modulo 1 : I temi che verranno affrontati saranno così suddivisi:

Capitolo 1. Aritmetica. Gli antichi sistemi di numerazione (posizionali e non posizionali) e i metodi di calcolo. Aritmetica pitagorica.

Capitolo 2. Geometria Ellenica e Ellenistica. Prima di Euclide. Euclide, i suoi Elementi. Il libro primo. Archimede e il metodo di esaustione. Cenni su Apollonio, Menelao, Pappo.

Capitolo 3. Il ritorno della geometria: La prospettiva nel Rinascimento: Ghiberti, Piero della Francesca, Leon Battista Alberti, Dürer. 

Capitolo 4. La Geometria Medioevale. Cenni su Fibonacci, Oresme, Bradwardine, Buridano, Cusano.

Capitolo 5.Applicazioni dell’algebra alla geometria. L’algebra cartesiana. René Descartes: esame dei principali contenuti dei tre libri della Géométrie.

 Capitolo 6: Cenni sullo sviluppo della Geometria Proiettiva. Pascal, Desargues, Monge e la Geometria Descrittiva.

Capitolo 7. Geometria Proiettivavnell'800. L’approccio sintetico (Poncelet, Chasles, Staudt) e quello analitico-algebrico (Gergonne, Moebius, Cayley).

Capitolo 8: Cenni sulle geometrie non-Euclidee e sul programma di Klein. Cenni sull'assiomatizzazione e sulla scuola italiana di Geometria Algebrica.

Capitolo 9 (Tentativo). Gli insiemi e la crisi dei fondamenti: Cantor, Hilbert, Russell, Goedel.

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Modulo 2:

Aritmetica indiana e araba e sua trasmissione in Occidente.

Algebra. La nascita dell’algebra nella civiltà araba. Contesto storico e geografico. L’opera matematica di Al-Khwarizmi. La matematica araba tra VIII e XV secolo (Al-Khwarizmi, Abu Kamil, Al- Karagi, Al-Kashi, Omar al-Khayyam, Al-Tusi). Esame di alcuni esempi tratti dalle opere di Abu Kamil, Omar Al-Khayyam). La trasmissione della matematica araba in Occidente.

La figura di Leonardo Pisano. Il Liber abaci. Le scuole d’abaco, Luca Pacioli.

Gli algebristi italiani del Cinquecento. La soluzione per radicali delle equazioni di terzo grado. I contributi di Scipione Del Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano per la soluzione delle equazioni di terzo grado. Il caso irriducibile nelle opere di Cardano e Bombelli. La soluzione di Ludovico Ferrari per le equazioni di quarto grado. Le quantità immaginarie, l’Algebra di Rafael Bombelli.

François Viète e la simbologia algebrica.

La nascita del calcolo infinitesimale. Metodi per la ricerca della tangente ad una curva: Descartes, De Baune, Hudde, Fermat.

La Nova Methodus di Leibniz: lettura integrale del testo. Esempi tratti dalla Nova methodus: legge di rifrazione e tangente ad una curva.

L’opera matematica di Newton. Le memorie sul calcolo differenziale: Analisi delle equazioni con un numero infinito di termini, Metodi delle serie e delle flussioni, Sulla quadratura delle curve. Applicazione del metodo diretto e inverso delle flussioni. Il metodo delle prime e ultime ragioni. La disputa sul calcolo infinitesimale.

Gli eredi della tradizione leibniziana e newtoniana. L’opera matematica di Jacob, Johann e Daniel Bernoulli. L’Analyse des Infiniment petits di Hopital. Eredi della tradizione newtoniana: Brook Taylor, James Stirling, Abraham De Moivre, Colin Maclaurin.

L’opera matematica di Euler. I trattati sul calcolo infinitesimale: Introductio in analysin infinitorum, Institutiones calculi differentialis, Institutionum calculi integralis.

La diffusione del calcolo infinitesimale in Italia.

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Modulo 3

In questo modulo affronteremo alcuni argomenti della storia della matematica, antica e moderna, lavorando non con un approccio cronologico, ma per temi. Precisamente, sceglieremo alcuni risultati che costituiscono pietre miliari della matematica di tutti i tempi, e per ciascuno andremo a vedere in dettaglio da dove viene, come si è evoluto e dove porta.

Il programma che risulta è quindi a grandi linee (un sottoinsieme de) il seguente:

1. La somma dei quadrati costruiti sui cateti: il teorema di Pitagora, dai Babilonesi a Wiles.

Vedi il programma del modulo di A. Gimigliano, cui in questo modulo si aggiungerà una lezione sulla Congettura di Fermat (enunciato, tentativi di dimostrazione - tra cui il programma di Sophie Germain) e la dimostrazione di Wiles (contesto, aneddoti, mito del genio isolato).

2. Geometrie, da Euclide a Gauss - e oltre.

A partire da quanto visto su Euclide nel modulo di A. Gimigliano, si rifletterà prima sulla genesi delle geometrie non euclidee, seguendo la suggestione della frase di Imre Toth secondo cui “la matematica è la scienza della libertà: la geometria non euclidea è nata non per misurazioni, ma sulla base della libera scelta umana di negare in maniera non distruttiva”, e poi sulle conseguenze dell’introduzione delle nuove geometrie sulla matematica, la fisica e il mondo dell’arte.

3. Classificazione delle superfici vs classificazione delle n-varietà: topologia, da Eulero a Perelman.

La nascita della topologia si fa convenzionalmente risalire a quella della teoria dei grafi, e quindi al problema dei ponti di Königsberg, affrontato e risolto da Eulero. A partire da tale problema, vedremo come la topologia si configuri come lo studio delle proprietà invarianti per omeomorfismo. Dopo aver chiarito cosa significhi “classificare” e a cosa servano gli invarianti, si dimostrerà il teorema di classificazione delle superfici topologiche chiuse, e si vedrà come la generalizzazione di questo enunciato porti alla Congettura di Poincaré. Vedremo poi quale sia stata, fin dall’inizio, la possibile linea dimostrativa, e per quale motivo i tentativi topologici siano (finora) sempre falliti, per spiegare infine quale si rivela essere l’approccio vincente e perché, con un’idea della dimostrazione (contributo di Hamilton e contributo di Perelman).

4. La risoluzione delle equazioni algebriche, dai Babilonesi a Galois.

A quanto fatto nel modulo di M.Giulia Lugaresi, si aggiungerà una lezione su Galois.

 

Testi/Bibliografia

Modulo 1:

C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori.

M. Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi.

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Modulo 2 and 3:

C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori.

M. Kline, Storia del pensiero matematico, vol. 1, Einaudi.

B. D’Amore – S. Sbaragli, La matematica e la sua storia, voll. II-III, Edizioni Dedalo.

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Ulteriori materiali didattici e appunti saranno forniti dai docenti sulla piattaforma "Virtuale".

Metodi didattici

Lezioni frontali, attività collaborative in classe, consultazione di testi originali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame finale sarà costituito da una prova orale che inizia con un argomento scelto dal/la candidato/a.

Le prove saranno due separate: una per il modulo 1 e una per i moduli 2 e 3. Il voto che verrà verbalizzato sarà unico e sarà la media dei voti conseguiti nelle due prove.

Strumenti a supporto della didattica

Note e altri materiali forniti dai docenti

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alessandro Gimigliano

Consulta il sito web di Silvia Benvenuti

Consulta il sito web di Maria Giulia Lugaresi