96729 - ANALISI SUPERIORE E EDP

Anno Accademico 2023/2024

  • Docente: Alberto Parmeggiani
  • Crediti formativi:: 6
  • SSD: MAT/05
  • Lingua di insegnamento: Italiano
  • Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
  • Campus: Bologna
  • Corso: Laurea Magistrale in Matematica (cod. 5827)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso gli studenti hanno una conoscenza, a livello introduttivo, della teoria delle Equazioni alle derivate parziali in ambito distribuzionale o nell’ambito delle soluzioni deboli (spazi funzionali).

Contenuti

Il corso è una introduzione alla teoria delle equazioni alle derivate parziali per studenti sia di matematica generale (sia pura che applicata). La teoria sviluppata è quella chiamata "moderna" e serve anche come base ad ulteriori sviluppi nella "analisi geometrica delle equazioni alle derivate parziali".

Il corso essenzialmente verte su aspetti della teoria delle equazioni a derivate parziali quali:

  • Il teorema di Frobenius per sistemi involutivi di campi vettoriali;
  • soluzioni fondamentali degli operatori differenziali alle derivate ordinarie e dei principali operatori alle derivate parziali classici: onde (1+3 dimensioni), calore, Laplace, Cauchy-Riemann;
  • problema di Cauchy per l'operatore delle onde (1+3 dimensioni) e per l'equazione di Schrödinger;
  • ipoellitticita` e supporto singolare di soluzioni fondamentali; parametrici di operatori a coefficienti costanti il cui simbolo e` un polinomio ipoellittico;
  • risolubilità locale in L2 di operatori alle derivate parziali a coefficienti lisci;
  • disuguaglianza di Hoermander per operatori a coefficienti costanti;
  • distribuzioni periodiche e distribuzioni sui tori piatti n-dimensionali; riassunto del calcolo delle k-forme differenziali; teorema di Hodge sui tori piatti n-dimensionali;
  • Il metodo di Galerkin per la risoluzione debole di equazioni alle derivate parziali sui tori piatti. Il Lemma di Friedrichs e le soluzioni forti periodiche in L2 loc di Rn.
  • Tempo permettendo: spazi di Sobolev sui tori piatti ed applicazioni.

Testi/Bibliografia

  1. L. Hörmander: Linear Partial Differential Operators, Springer Edizione del 1969.
  2. C. Zuily: Eléments de distributions et d'équations aux dérivées partielles. Dunod.

Metodi didattici

La teoria è affiancata da alcuni esercizi ed applicazioni, prevalentemente in ambito teorico.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste di uno scritto ed un orale che debbono essere sostenuti entro la stessa sessione. Nello scritto, che constiste in un tema riguardante gli argomenti sviluppati durante il corso (2 ore; non è ammesso l'uso di appunti o di ausili elettronici) lo studente riceverà una valutazione: insufficiente/sufficiente/buono/ottimo, ed un punteggio in trentesimi. Nel caso di valutazione "insufficiente" lo studente dovrà ripetere lo scritto. Nel caso di valutazione almeno "sufficiente" lo studente procederà all'orale. Quest'ultimo si svolge a partire da un argomento (rilevante) scelto dallo studente. Uno scritto sufficiente potrà essere utilizzato nell'ambito della sessione.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Alberto Parmeggiani