09757 - GEOMETRIA E ALGEBRA

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, lo studente possiede le conoscenze di base del calcolo matriciale e vettoriale. In particolare lo studente è in grado di: calcolare determinanti, matrici inverse e risolvere sistemi lineari, calcolare autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi e matrici.

Contenuti

Il corso fornisce gli strumenti essenziali per lo studio dei sistemi lineari e dell'algebra lineare.

Gli argomenti che verranno trattati nel corso sono i seguenti:

1) Introduzione ai sistemi lineari:

• Definizioni ed esempi;
• Matrice associata ad un sistema lineare;
• Algoritmo di Gauss;
• Risoluzione di sistemi lineari dipendenti da un parametro.

2) Introduzione agli spazi vettoriali reali:

• Definizioni ed esempi;
• Lo spazio vettoriale Rn e l'interpretazione geometrica della nozione di spazio vettoriale;
• Altri esempi di spazi vettoriali (tramite matrici e polinomi).

3) Introduzione ai sottospazi vettoriali:

• Definizioni, esempi e controesempi;
• Combinazione lineari e generatori di uno spazi vettoriale;
• Vettori linearmente indipendenti;
• Base di uno spazio vettoriale e dimensione;
• Criteri per stabilire se i vettori dati sono linearmente indipendenti.

4) Intersezione e somme di spazi vettoriali:

• Definizioni di intersezione, unione e somma di spazi vettoriali;
• La formula di Grassmann;
• Somma diretta di sottospazi vettoriali;
• Esempi.
  

5) Coordinate di un vettore rispetto ad una base:

• Definizione;
• Matrici di cambiamento di base;
• Esempi.
  

6) Introduzione alle applicazioni lineari:

• Definizioni ed esempi;
• Costruzione di applicazioni lineari con condizioni di esistenza ed unicità;
• Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare;
• Iniettività e suriettività di un'applicazione lineare;
• Teorema delle dimensioni;
• Matrice associata ad un'applicazione lineare;
• Rango di una matrice;
• Composizione di applicazioni lineari (e di matrici);
• Applicazioni lineari invertibili e matrici invertibili;
• Rappresentazione di un'applicazione lineare in due basi distinte.

7) Uno studio più dettagliato delle applicazioni lineari e delle matrici:

• Matrici simili;
• Determinante di una matrice;
• Autovalori e autovettori di un endomorfismo;
• Autospazi;
• Polinomio caratteristico;
• Diagonalizzabilità di un endomorfismo: condizioni necessarie e sufficienti;
• Esempi;
• Studio della diagolizzabilità di endomorfismi dipendenti da un parametro reale.

Testi/Bibliografia

Libri di testo:

• Marco Abate "Algebra Lineare" (McGraw-Hill, 2000)
  

• Stefano Francaviglia "Geometri e Algebra T. (Aggiornamento 2017)" ISBN 9780244020736

Raccolta di esercizi d'esame:

• Stefano Francaviglia "Test di Algebra Lineare" ISBN 9781540411921

Metodi didattici

Il corso consiste in 60 ore di didattica frontale dedicate sia alla teoria che alla risoluzione di esercizi. Ogni nuovo argomento di teoria verrà presentato assieme a numerosi esempi e controesempi in modo da facilitare l'apprendimento. Inoltre, verranno assegnati settimanalmente degli esercizi da svolgere in autonomia in modo da verificare il corretto apprendimento degli argomenti trattati.

La struttura del corso è pensata in modo tale che gli studenti possano apprendere gradualmente le tecniche dimostrative partendo dai casi più elementari e arrivando agli enunciati più importanti nella seconda parte del corso.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta ed un successiva prova orale.

La prova scritta verte sulla risoluzione di alcuni esercizi basati su quanto visto durante il corso più una breve domanda di teoria.

La prova scritta si considerata superata se la risoluzione degli esercizi è sufficiente.

Successivamente superata la prova scritta si potrà accedere all'orale, la cui durata verrà stabilita in base alla correttezza della domanda teorica presente nello scritto.

Strumenti a supporto della didattica

Attraverso la piattaforma Virtuale gli studenti avranno accesso a delle dispense (caricate settimanalmente) e a degli esercizi mirati preparati settimanalmente. In seguito, verranno poi caricate anche le soluzioni di tali esercizi. Inoltre, sulla stessa piattaforma verranno caricati temi d'esame degli anni passati.

Il ricevimento sarà svolto online (su appuntamento) in modo da venire incontro alle esigenze dei singoli studenti.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Marco Moraschini