29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti principali dell'algebra lineare (matrici, spazi vettoriali, sistemi lineari, autovalori, forme quadratiche) e loro applicazione in ambito geometrico, garantendo sia la comprensione dei legami tra le diverse parti della teoria, sia la capacità operativa.

Contenuti

TEORIA

[Equazioni e sistemi lineari] Alcune strutture algebriche (gruppi, anelli, campi). Operazioni standard su Kn. Sistemi lineari.

[Matrici] Definizioni iniziali. Operazioni. Sistemi lineari e matrici.

[Spazi vettoriali] Definizioni iniziali. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sottospazio somma. Spazi riga e colonna di una matrice.

[Basi] Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

[Applicazioni lineari] Linearità. Isomorfismi. Nucleo e immagine.

[Rappresentazioni matriciali di applicazioni lineari] Applicazioni lineari, basi, matrici.

[Determinanti] Permutazioni. Determinante. Proprietà dei determinanti. Sviluppo di Laplace. Matrice inversa. Determinante di un endomorfismo. Rango di una matrice. Sistemi lineari.

[Rappresentazioni di sottospazi] Rango, nucleo, immagine. Rappresentazioni cartesiana e parametrica.

[Autovalori e autovettori] Autovalori ed autospazi di un endomorfismo. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di matrici.

[Spazi vettoriali euclidei] Prodotti scalari e norme indotte. Ortogonalità. Basi ortogonali e ortonormali. Isometrie. Complemento ortogonale. Prodotto vettoriale.

[Spazi euclidei] Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Parallelismo e ortogonalità nello spazio euclideo tridimensionale.

ESERCITAZIONI
Calcolo di determinanti e ranghi di matrici. Discussione e risoluzione di sistemi lineari. Reperimento e rappresentazione di applicazioni lineari. Determinazione delle equazioni di sottospazi vettoriali. Passaggio fra le rappresentazioni. Calcolo di autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Risoluzione di problemi di parallelismo e ortogonalità in R^3. Calcolo dell'angolo fra due rette.

Per ulteriori dettagli si veda la pagina web http://www.dm.unibo.it/~frosini/programmi/programmacorso2023.shtml

Testi/Bibliografia

A. Gimigliano, A. Bernardi, "Algebra lineare e geometria analitica", CittàStudiEdizioni, 2018 (seconda edizione).

Metodi didattici

Lezioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in un questionario obbligatorio online su EOL (Esami OnLine), una prova scritta obbligatoria in presenza e una prova orale facoltativa in presenza (che può essere resa obbligatoria a giudizio del docente). Tutte le prove abbracciano l'intero programma svolto a lezione.

QUESTIONARIO: L'ammissione alla prova scritta sarà subordinata al superamento di un questionario teorico obbligatorio tenuto su EOL-ESAMI ONLINE, consistente in 9 gruppi di 4 affermazioni (quindi 36 affermazioni in totale). Ogni gruppo farà riferimento a un argomento trattato nel programma. Per ogni affermazione lo studente dovrà dire se si tratta di un'affermazione vera o falsa. Sarà possibile astenersi dalla risposta scegliendo l'opzione "NON SO". A ogni scelta corretta verranno attribuiti 2 punti, a ogni scelta errata 0 punti, alla scelta "NON SO" 1 punto. Il punteggio totale potrà quindi variare fra 0 e 72. (Come si vede, sarà sempre conveniente scegliere una delle tre opzioni, ma il valore atteso rispondendo a caso sarà 36, lo stesso che si otterrà rispondendo sempre "NON SO".) Saranno ammessi alla prova finale e alla eventuale prova orale coloro che avranno ottenuto almeno 48 punti (in pratica si tratta di valutare correttamente almeno un terzo delle affermazioni). Questa scelta relativa ai punteggi è stata determinata in base alle caratteristiche tecniche di EOL-ESAMI ONLINE. Lo studente che, per motivi personali, desideri riportare il punteggio P ottenuto in un voto T espresso in trentesimi può usare questa formula: T=5P/6-30 (per esempio, il punteggio P=48 corrisponde a 10 trentesimi). La durata della prova del questionario sarà ordinariamente di un'ora, ma potrà essere individualmente estesa in presenza di documentate esigenze personali (p.e., DSA). In quest'ultimo caso lo studente dovrà informarmi con ampio anticipo per email della richiesta di tempo maggiorato. Se durante la prova del questionario dovesse verificarsi una lunga disconnessione mi riservo di chiedere allo studente di risostenere la prova in altra data. Ogni studente che debba allontanarsi dalla sua postazione (per esempio, per andare in bagno) potrà ovviamente farlo, senza però che questo comporti un cambiamento nell'orario di consegna del questionario.

PROVA SCRITTA: La prova scritta è usualmente costituita da nove esercizi che devono essere risolti in presenza. Il voto finale d'esame è il voto ottenuto nella prova scritta. 

PROVA ORALE: Ogni studente ammesso alla prova scritta può richiedere di essere ammesso a sostenere una prova orale integrativa. Salvo casi eccezionali, il voto finale ottenuto con la prova orale può differire dal punteggio della prova scritta di al più 8 punti. Le prove orali si svolgeranno a partire dalla data scritta su AlmaEsami, secondo un calendario che verrà comunicato via email e/o su Virtuale (https://virtuale.unibo.it/).

VERBALIZZAZIONE: L'esito dell'esame dovrà essere verbalizzato entro cinque giorni dal conseguimento del voto. I punteggi ottenuti nei questionari, nelle prove scritte e nelle prove orali sono validi soltanto per l'appello in cui vengono conseguiti.
La verbalizzazione viene ordinariamente fatta in presenza dello studente, nel corso delle prove orali dell'appello in cui si è sostenuta la prova scritta. Solo nel caso di gravi impedimenti personali verrà concesso di verbalizzare il voto ottenuto con diversa modalità.

ISCRIZIONI: Le iscrizioni agli appelli si effettuano su AlmaEsami [https://almaesami.unibo.it/almaesami/welcome.htm], a partire da circa due settimane prima della prova del questionario. Gli studenti non iscritti non potranno partecipare all'appello.

È necessario presentarsi alla prova scritta e alla eventuale prova orale con il tesserino universitario e un documento d'identità provvisto di foto.

NOTA IMPORTANTE: Ogni studente che trovi errori nella correzione delle sue prove d'esame (per esempio dovuti a refusi di cui non mi sia reso conto) è invitato a evidenziarli in sede di consegna degli elaborati corretti, in occasione delle prove orali. Se l'errore è effettivamente presente e influisce sul voto attribuito alla prova d'esame dello studente, questo verrà incrementato di conseguenza (senza diminuzione dei voti ottenuti dagli altri studenti). Tale incremento verrà attribuito solo su richiesta dello studente interessato.

Strumenti a supporto della didattica

Materiale didattico: del materiale didattico verrà messo a disposizione dello studente sulla pagina web del docente ( http://www.dm.unibo.it/~frosini/ ).

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~frosini/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Patrizio Frosini