75602 - ANALISI NUMERICA E MODELLAZIONE GEOMETRICA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso si propone come obiettivo l'apprendimento dei fondamenti teorici, degli aspetti numerico-matematici e delle principali metodologie per la rappresentazione e manipolazione matematica di forme. Il percorso formativo prevede di fornire una base di algebra lineare numerica e un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo bi/tridimensionale. Gli strumenti introdotti saranno applicati alla modellazione geometrica di curve, superfici e solidi, cuore dei sistemi di progettazione al calcolatore. Il corso prevede un’attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software Matlab.

Contenuti

PRIMA PARTE (4 CFU) (Modulo 2)

1 - Algebra lineare e geometria analitica del piano e dello spazio

1.1 - Spazi vettoriali geometrici 1D, 2D, 3D. Descrizione algebrica delle relazioni fra vettori geometrici. Basi. Orientamento, aree e volumi con segno.

1.2 - Spazi vettoriali reali; combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi, coordinate, dimensione. Spazi vettoriali numerici Rn (n=1,2,3,4,...). Sistemi lineari di n equazioni in n incognite con un'unica soluzione. Determinanti, proprietà, regola di Cramer.

1.3 - Punti e vettori. Spazi affini 1D, 2D, 3D. Sistemi di riferimento, coordinate. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani; incidenza, parallelismo; rette sghembe. Proiezioni.

1.4 - Prodotto scalare. Spazi vettoriali Euclidei 1D, 2D, 3D; lunghezza, ortogonalità, angoli; prodotto vettoriale in 3D. Basi ortonormali.

1.5 - Spazi Euclidei 1D, 2D, 3D. Sistemi di riferimento, coordinate. Proiezioni ortogonali su rette e su piani. Distanze fra punti, rette, piani.

2 - Trasformazioni del piano e dello spazio

2.1 - Applicazione lineare fra spazi vettoriali geometrici; costruzione a partire da una base e una sua immagine. Composizione.

2.2 - Applicazione lineare fra spazi vettoriali Rn; costruzione a partire da una base e una sua immagine. Composizione, biiettività, inversione. Matrici, prodotto riga per colonna, invertibilità, matrice inversa. Equivalenza fra l'algebra delle applicazioni lineari e l'algebra delle matrici.

2.3 - Applicazione affine di uno spazio affine in sè, applicazione lineare indotta; variazione di aree e volumi con segno. Traslazione, dilatazione, riflessione, proiezione, scaling, shear in 2D e 3D. Rappresentazione matriciale rispetto a sistemi di riferimento opportuni e qualsiasi. Composizione, invertibilità, inversione.

2.4 - Isometria di uno spazio Euclideo in sè. Rotazioni in 2D e 3D, rappresentazioni matriciali.

3 - Calcolo differenziale ed integrale di funzioni reali di una variabile reale (richiami)

Funzioni reali di una variabile reale; interpretazione cinematica; grafico. Spazi vettoriali di funzioni. Funzioni polinomiali, razionali, trigonometriche. Continuità, derivabilità e derivata di una funzione in un punto. Regole di derivazione. Primitive di una funzione su un intervallo. Integrale di Riemann. Teorema fondamentale del calcolo.

 

SECONDA PARTE (5 CFU) (Modulo 1)

1- Elementi di geometria differenziale.

Curve 2D in forma parametrica, parametrizzazione. Derivata di una curva parametrica, curva regolare, lunghezza di una curva, vettore tangente e curvatura, vettore normale. Esempi di curve. Curve 3D in forma parametrica, curvatura e torsione. Frenet frame.

 

Superfici in forma parametrica, piano tangente, vettore normale, curvature principali, curvatura media e curvatura Gaussiana. Generazione di superfici per trasformazione di curve parametriche.

 

2- Metodi numerici per la rappresentazione di curve e superfici e modellazione geometrica

 

2.1- Curve di Bézier.

Funzioni polinomiali nella base di Bernstein. Curve di Bézier e loro proprietà. Composizione di curve di Bézier. Continuità parametrica e geometrica.

 

2.2 - Curve spline

Spazio delle funzioni spline, base B-spline, costruzione di curve spline. Spline razionali (NURBS). Archi di cerchio in forma NURBS.

 

2.3 - Superfici

Definizione e costruzione di superfici di Bézier, spline e NURBS. Tecniche per la generazione di superfici NURBS da curve: skinning, estrusione, superfici rigate, sweeping.

 

3 - Interpolazione polinomiale e con curve parametriche

Interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti (spline). Problema di interpolazione di Lagrange ed Hermite. Costruzione di una polinomiale a tratti cubici di Bézier con continuitа C1.

Testi/Bibliografia

PRIMA PARTE: il riferimento principale sono gli appunti ed esercizi del docente, pubblicati settimanalmente durante il corso su https://virtuale.unibo.it. Per eventuali approfondimenti si consiglia: G. Farin and D. Hansford, Practical linear algebra - a geometry toolbox, CRC Press 

SECONDA PARTE: il riferimento è la dispensa del corso che verrà messa a disposizione ad inizio lezioni e gli esercizi svolti dal docente durante i laboratori. Il materiale didattico è scaricabile dalla piattaforma virtuale.unibo.it.

Metodi didattici

PRIMA PARTE: Lezioni frontali. Verranno assegnati settimanalmente degli esercizi, che saranno corretti da un tutor.

SECONDA PARTE: Lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio informatico. Le esercitazioni affiancano la parte teorica per stimolarne la comprensione. Per le esercitazioni verrà utilizzato il software Matlab. 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per superare l'esame bisogna superare l'esame sulle singole parti; il voto d'esame è la media pesata dei voti delle singole parti.

PRIMA PARTE: L'esame consiste in una prova scritta e, solo su richiesta del docente o dello studente, da una prova orale.

La prova scritta verte su esercizi del tipo di quelli assegnati durante il corso, dura 2h. Gli esercizi vanno svolti riportando e motivando i passaggi. L'eventuale prova orale è cruciale per il superamento dell'esame e per il voto; verte sulla discussione dello scritto ed argomenti collegati, dura almeno 30'. 

SECONDA PARTE: La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale, della durata di 2h, da svolgersi in laboratorio che consiste di tre esercizi sul modello di quelli visti durante il laboratorio e tre domande di teoria. Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti. Come guida nella preparazione dell'esame, i temi d'esame del precedente anno accademico saranno messi a disposizione degli studenti iscritti al corso. 

Strumenti a supporto della didattica

Dispense, lucidi, esercizi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Carolina Vittoria Beccari

Consulta il sito web di Francesco Regonati