72762 - METODI NUMERICI PER L'INGEGNERIA CIVILE M

Conoscenze e abilità da conseguire

Con l'acquisizione dei crediti formativi, lo studente possiede le conoscenze e gli strumenti computazionali di maggiore importanza nell'ambito dell'ingegneria civile, con particolare riferimento a metodi numerici per la soluzione di equazioni e sistemi algebrici e differenziali.

Contenuti

Modulo 1

Elementi di programmazione in MATLAB
* Assegnazione di variabili scalari e vettoriali
* Operazioni aritmetiche ed operazioni con matrici e vettori
* Uso di funzioni ed elementi di grafica
* Istruzioni condizionali e cicli
* Programmazione in MATLAB (vettorizzazione)

Fondamenti di matematica numerica
* Sorgenti di errore
* Rappresentazione dei numeri reali mediante un computer
* Arrotondamento di un numero
* Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche
* Numero di condizionamento di un problema, stabilità, convergenza

Approssimazione di funzioni e di dati
* Interpolazione polinomiale di Lagrange
* Valutazione degli errori di approssimazione
* Nodi equispaziati e di Chebyshev
* Interpolazione con polinomi a tratti (spline)
* Approssimazioni di funzioni e di dati nel senso dei minimi quadrati

Differenziazione ed integrazione numerica
* Approssimazione delle derivate
* Formule di quadratura interpolatorie
* Formula del punto medio, dei trapezi, di Cavalieri-Simpson
* Formule di Newton-Cotes
* Formule di quadratura semplici e composite
* Grado di precisione di una formula di quadratura
* Formule di Gauss
* Metodo Monte Carlo per l'integrazione numerica

Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari
* Fattorizzazione LU e metodo di eliminazione di Gauss
* Fattorizzazione di Choleski
* Pivoting
* Analisi degli errori e numero di condizionamento di una matrice
* Sistemi sovradeterminati

Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari
* Metodi iterativi classici e analisi della convergenza
* Metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e di Richardson
* Metodi del gradiente e del gradiente coniugato
* Precondizionamento
* Criteri d'arresto

Metodi per la risoluzione di (sistemi di) equazioni nonlineari e per problemi di ottimizzazione
* Metodi di bisezione, delle secanti e di Newton per equazioni nonlineari
* Estensione al caso di sistemi di equazioni nonlineari
* Ottimizzazione (non vincolata)
* Metodo di Newton e metodi di discesa

Calcolo di autovalori e autovettori
* Quoziente di Rayleigh
* Metodo delle potenze e generalizzazioni

Equazioni differenziali ordinarie
* Problema di Cauchy
* Metodi di Eulero e di Crank-Nicolson
* Consistenza, stabilità, convergenza
* Regione di assoluta stabilità
* Metodi di ordine elevato
* Sistemi di equazioni differenziali

Modulo 2

Alcune classi di equazioni differenziali
* Equazioni ellittiche
* Equazioni paraboliche
* Equazioni iperboliche

Interpolazione e collocazione
* Funzioni cardinali
* Integrazione di Gauss
* Trasformazioni e derivazione
* Soluzione di un problema al contorno
* Soluzione con ricombinazione della base

Approssimazione al passo
* Equazioni paraboliche
* Differenze finite nel tempo
* Differenze finite nello spazio
* Equazioni iperboliche

Cambio di coordinate
* Polinomi di Chebyshev

Lavoro virtuale e principi energetici nella meccanica
* Principio degli spostamenti virtuali
* Principio di minimo dell’energia potenziale totale
* Principio di Hamilton per sistemi discreti (metodo di Lagrange)
* Principio di Hamilton per il continuo

Metodi variazionali diretti
* Formulazione forte, debole e variazionale
* Metodo di Ritz
* Metodi dei residui-pesati

Metodo degli elementi finiti
* Elementi isoparametrici 1D
* Elementi isoparametrici 2D

Testi/Bibliografia

Il materiale del corso (slide, dispense ed esercizi) sarà reso disponibile sulla piattaforma Virtuale. Testi di riferimento:

* A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio: Calcolo scientifico. Springer, 2017.

* J. P. Boyd: Chebyshev and Fourier spectral methods. Dover, 2000.

* A. J. M. Ferreira, N. Fantuzzi: MATLAB codes for finite element Analysis. Springer, 2020.

Metodi didattici

Lezioni frontali, esercitazioni in classe e in laboratorio, svolgimento di compiti a casa.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova finale e attività svolte durante il corso.

Strumenti a supporto della didattica

Il corso prevede un'attività di laboratorio che ne costituisce parte integrante in cui si utilizzerà il software MATLAB.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Michele Ruggeri

Consulta il sito web di Nicholas Fantuzzi