67432 - COMPLEMENTI DI GEOMETRIA T

Conoscenze e abilità da conseguire

Lo studente acquisisce nozioni relative agli strumenti di Geometria Differenziale particolarmente utili nella Laurea magistrale in Ingegneria Meccanica sia dal punto di vista delle applicazioni sia come riferimento culturale, quali le curve nel piano e le curve e le superficie nello spazio; la curvatura nel piano e nello spazio; formule della curvatura; evol¬venti, evolute ed involute nel piano e nello spazio; torsione nello spazio; equazioni trigonometriche.

Contenuti

Teoria

Geometria proiettiva

Motivazioni. Spazi proiettivi. Esempi. Dipendenza e sottospazi. Riferimenti. Proiettività. Prospettività. Dualità. Collegamento affine-proiettivo. Punti impropri. Iperquadriche. Polarità. Iperquadriche nell'affine e nell'euclideo. Fasci di coniche.

Complementi di algebra

Molteplicità di radici. Risultante. Discriminante.

Geometria differenziale

Curve piane: intersezione, forme parametriche, tangente e normale; curve piane notevoli.

Superfici e curve dello spazio: intersezione, forme parametriche, tangenza; curve e superfici notevoli.

Contatto fra curve piane: punti singolari, flessi; cerchio osculatore; curvatura; punti multipli; asintoti.

Contatto fra curve dello spazio: punti singolari, flessi; triedro principale; cerchio osculatore; flessione e torsione; formule di Frenet.

Superfici: punti singolari; tangenti asintotiche; classificazione dei punti semplici ordinari; punti multipli; tangenti principali.

Esercitazioni

Determinazione di sottospazi proiettivi e di proiettività. Ricerca di punti impropri. Calcolo di polo, polare, vertice, centro, iperpiani principali.
Calcolo di risultanti e discriminanti.
Costruzione di curve piane come luoghi geometrici. Costruzione di coni, cilindri, superfici di rotazione, sfere. Determinazione di: punti singolari, tangenti, asintoti; curvatura e cerchi osculatori di curve piane. Determinazione di: triedri principali, flessione e torsione di curve dello spazio. Determinazione di: punti singolari, piani e coni tangenti, tangenti asintotiche.

Testi/Bibliografia

Testo utilizzato
Dispense distribuite dal docente.

Testi di riferimento

• M. Barnabei, F. Bonetti, Sistemi lineari e matrici, Ed. Pitagora, 1992 (per un ripasso di algebra lineare).
• M. Barnabei, F. Bonetti, Spazi vettoriali e trasformazioni lineari, Ed. Pitagora, 1993 (per un ripasso di algebra lineare).
• C. Gagliardi, L. Grasselli, Algebra lineare e geometria, vol. 1-3, coll. Leonardo, ed. Esculapio, 1993 (in particolare: vol. 1 per un ripasso di algebra lineare, vol. 3 per gli spazi proiettivi).
• M.R. Casali, C. Gagliardi, L.Grasselli, Geometria, Progetto Leonardo, Bologna, 2002 (manuale più snello).
• R. Caddeo, A. Gray, Curve e superfici, CLUEC, 2002, vol. 1-2 (trattato esauriente di geometria differenziale).
• M. Villa, Lezioni di Geometria per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria, CEDAM, 1972 (vecchio libro di pratica consultazione per la geometria di curve e superfici).

Per gli esercizi, può andare bene qualunque libro, purché, ovviamente, copra la materia in questione. Non è facile trovare eserciziari moderni che trattino la parte differenziale. Anche qui un vecchio libro può servire allo scopo:

• M. Villa, Esercizi di geometria : per gli studenti dei Corsi di Laurea in Fisica ed Ingegneria , Patron, 1970.

Metodi didattici

Lezione tradizionale.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta (esercizi) di tre ore e prova orale.

Strumenti a supporto della didattica

Si possono scaricare le prove scritte risolte degli Anni Accademici 2008-2009  e 2009-2010.
Le lezioni vengono registrate e caricate online. Nella stessa pagina sono presenti numerosi file GeoGebra illustrativi degli argomenti trattati.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~ferri/hm/progcomp.htm

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Massimo Ferri

Consulta il sito web di Patrizio Frosini