- Docente: Piero Plazzi
- Crediti formativi: 6
- SSD: MAT/01
- Lingua di insegnamento: Italiano
- Modalità didattica: Convenzionale - Lezioni in presenza
- Campus: Bologna
-
Corso:
Laurea Magistrale in
Matematica (cod. 5827)
Valido anche per Laurea Magistrale in Matematica (cod. 8208)
Conoscenze e abilità da conseguire
Al termine del corso, lo studente ha una visione critica dell'odierno sviluppo della ricerca sui fondamenti della matematica (incompletezza dei sistemi assiomatici e indipendenza), che ormai, oltre alla tradizionale importanza per la didattica, è strettamente intrecciato con le ricerche logiche e con le problematiche legate alla teoria della computabilità, legandosi così anche allo sviluppo dell'informatica teorica.
Contenuti
0. Prerequisiti. E' fortemente raccomandata una certa conoscenza della logica degli enunciati e soprattutto di quella dei predicati, per la quale si rimanda al programma e ai testi segnalati nel mio programma di Logica Matematica (CdL triennale) .
1. Computabilità, aritmetica e teoremi di incompletezza. Computabilità intuitiva. Algoritmi: di calcolo, di decisione, di enumerazione. Un primo approccio: le macchine di Turing. Un secondo approccio: la ricorsività. Funzioni ricorsive primitive, esempi di Ackermann e μ-ricorsività. Relazioni e insiemi ricorsivi, enumerabilità. Tesi di Church-Turing. L'aritmetica di Peano e PA. Ricorsività ed aritmetica: la gödelizzazione. Teoremi di incompletezza di Gödel e loro principali conseguenze.
2. Teoria assiomatica degli insiemi. Cenni di storia della teoria degli insiemi: le dimostrazioni di Cantor sugli insiemi numerici, la teoria intuitiva ed i suoi paradossi (Cantor, Russell). La teoria assiomatica standard: gli assiomi di ZF. Numeri ordinali e cardinali secondo von Neumann. Assiomi speciali: scelta, fondazione, 'ipotesi' del continuo. Teorie alternative: NBG ed il concetto di classe; insiemi non ben fondati, teorie nonstandard. Cenno all'indipendenza di assiomi.
Testi/Bibliografia
G. LOLLI, Introduzione alla logica formale, Bologna, Il Mulino (per i prerequisiti di logica formale).
E. MENDELSON, Introduzione alla logica matematica, Torino, Bollati Boringhieri (parti 2 e 3).
P. R. HALMOS, Teoria elementare degli insiemi, Milano, Feltrinelli (parte 3)
Sono disponibili dispense, scaricabili dal sito 'virtuale'.
Metodi didattici
Oltre a una attenzione particolare alle implicazioni didattiche degli argomenti trattati, particolare riguardo viene riservato alla storia e alle implicazioni culturali della ricerca sui fondamenti della Matematica.
Le lezioni si svolgeranno in caso di necessità anche in via telematica
Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento
La verifica consiste in una prova orale: mediante un colloquio basato su tre domande riguardanti le singole parti in cui è suddiviso il programma, lo studente dovrà dimostrare la capacità di padroneggiare e valutare criticamente i concetti fondamentali del corso ed essere consapevole delle possibilità didattiche degli argomenti trattati. Se necessario od opportuno, lezioni, esami e ricevimento studenti potranno avvenire telematicamente (posta elettronica,ecc.)
Strumenti a supporto della didattica
Lezioni alla lavagna prese se oppoertuno con webcam o lezioni per via telematica; dispense su tutto il programma in formato pdf disponibili sul nuovo sito per la didattica quando aggiornato.
Orario di ricevimento
Consulta il sito web di Piero Plazzi