27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscenza degli strumenti matematici di base (limiti, derivate, integrali) per l'analisi qualitativa delle funzioni e la risoluzione di problemi applicativi.

Contenuti

• Premesse: N,Z,Q,R, relazioni di ordine: minimo e massimo, estremi superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. Densità di Q in R.
  
  
• Numeri complessi: Il campo dei numeri complessi, forma algebrica, modulo e argomento, forma trigonometrica, radici(*), equazioni algebriche in campo complesso.

• Limiti: Intorni, punti di accumulazione. Limiti finiti e infiniti di funzioni di variabile reale a valori reali, limite destro e sinistro. Proprietà del limite: unicità, località, locale limitatezza; proprietà algebriche del limite e teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone. Forme indeterminate: infiniti e infinitesimi. Simboli di Landau. Limiti notevoli.

• Continuità: Funzioni continue di variabile reale a valori in R. Continuità della funzione composta. Permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue definite su intervalli: teorema di Weierstrass, teorema di Bolzano, teorema degli zeri (*), teorema su invertibilità e monotonia, teorema di continuità della funzione inversa.

• Derivazione e applicazioni:

1. Interpretazione geometrica e meccanica della derivata, derivate di ordine superiore, derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata della somma di funzioni, regola di Leibniz, derivata della funzione reciproca, derivata della funzione inversa, derivata della funzione composta.
2. Proprietà delle funzioni derivabili su intervalli: teorema di Rolle, teorema di Lagrange, funzioni a derivata nulla e funzioni costanti, primitiva, teorema su monotonia e segno della derivata. Teorema di de l'Hopital per forme indeterminate.
3. Funzioni convesse: definizione e interpretazione geometrica, teorema su convessità e monotonia della derivata prima, teorema su convessità e segno della derivata seconda.
4. Approssimazione delle funzioni regolari con la formula di Taylor. Polinomio di Taylor, unicità del polinomio di grado minore o uguale a n che approssima una funzione all'ordine n, formula di Taylor con il resto di Peano, proprietà delle derivate del polinomio di Taylor; formula di Taylor con il resto di Lagrange, formula di Taylor delle funzioni elementari: exp(x), cos(x), sin(x), cosh(x),senh(x), (1+x)^a, 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1-x^2), 1/(1+x^2), log(1+x), applicazione ai limiti di forme indeterminate.
5. Analisi qualitativa delle funzioni. Asintoti: verticale, orizzontale, obliquo; punti singolari di prima e seconda specie, punti angolosi, cuspidi, punti estremanti locali, punti stazionari, i punti estremanti interni sono stazionari, condizioni sufficienti (mediante le derivate) perché un punto sia estremante locale, punti di flesso: definizione e interpretazione geometrica, condizioni necessarie e condizioni sufficienti (mediante le derivate) perchè un punto sia di flesso.

• Integrazione e applicazioni

1. Definizione di integrale di Riemann per funzioni limitate definite su intervalli limitati e chiusi. Proprietà dell'integrale: linearità, monotonia, additività. Classificazione delle funzioni integrabili secondo Riemann su intervalli limitati e chiusi (funzioni continue tranne un numero finito di punti; funzioni monotone). La funzione di Dirichlet. Teorema della media integrale.
2. Funzione integrale e funzione primitiva. Il teorema fondamentale del calcolo integrale per le funzioni continue. Regola di Torricelli. Teorema di integrazione per parti e teorema di integrazione per sostituzione.
3. Integrazione delle funzioni razionali.
4. Integrale di Riemann generalizzato. Criterio del confronto per la convergenza dell'integrale generalizzato di una funzione positiva. Sommabilità di 1/x^a.

• Equazioni differenziali

1. Introduzione, problema di Cauchy e principio di causalità.
2. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di ordine n: esistenza e regolarità globali delle soluzioni, principio di sovrapposizione delle soluzioni, caratterizzazione dell'insieme delle soluzioni come spazio vettoriale, teorema del Wronskiano (con dimostrazione nel caso n=2). Integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti.
3. Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti e termine noto continui: esistenza e regolarità globali, integrale generale. Integrale generale e risoluzione del problema di Cauchy per le equazioni differenziali lineari del I ordine: y'=a(t)y+b(t). Metodi per la ricerca dell'integrale particolare di un'equazione differenziale lineare non omogenea: metodo per simpatia (lineare omogenea a cofficienti costanti, termine noto del tipo exp(at), t^k, cos(bt), sin(ct)) e metodo di variazione delle costanti.
4. Equazioni differenziali a variabili separabili: risoluzione del problema di Cauchy.

Testi/Bibliografia

Simonetta Abenda : Analisi Matematica (Esculapio)
Simonetta Abenda: Esercizi di Analisi Matematica (Esculapio)

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni frontali.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame si svolge in forma scritta. La prova d’esame consiste in esercizi e domande di teoria relativi al programma svolto.

Le date degli appelli sono pubblicate su Almaesami e sul sito del corso di studi. Gli studenti possono presentarsi a tutti gli appelli. E’ possibile rifiutare il voto solo una volta.

Per partecipare all’esame è obbligatoria l’iscrizione su Almaesami. L'esame si svolge online. E' possibile richiedere di svolgere l'esame in presenza in casi eccezionali (ad esempio DSA, mancanza connessione internet, ecc.); in questo caso lo studente deve contattare la docente via mail.  

Lo studente che decide di non presentarsi il giorno dell’esame è pregato di cancellarsi dalla lista e comunicare via mail tale decisione in modo da non ritardare l’inizio della prova stessa.

Esami in presenza: è proibito l'uso di qualunque dispositivo elettronico collegato alla rete internet o altri dispositivi di connessione telefonica, ecc. durante la prova d'esame pena l'annullamento della prova d'esame stessa. E’ vietato l’uso di calcolatrici grafiche e programmabili.

Esami on line: per i dettagli si rimanda al regolamento pubblicato su Virtuale. L’esame si svolge sulla piattaforma EOL+ZOOM

Durata della prova 2h 30 m

Gli esercizi e le domande di teoria sono formulati come quiz a risposta multipla. Lo studente allega la soluzione degli esercizi sui fogli protocollo forniti dalla Commissione (esami in presenza) o sotto forma di file pdf allegato al quiz su EOL (esame on-line). Lo studente può consultare i propri libri di testo e gli appunti e può utilizzare una calcolatrice non programmabile.

La prova consiste in 5 esercizi a risposta multipla e 10 domande di teoria.

Gli esercizi a risposta multipla valgono: +2 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.5 (risposta errata)

I quesiti di teoria valgono: +1 (risposta corretta), 0 (risposta non data) -0.25 (risposta errata)

Le soluzioni dettagliate degli esercizi (incluso il disegno del grafico per l’esercizio sullo studio di funzione)  valgono per ciascun quesito da 

-1 (svolgimento mancante nel caso di quiz risolto, file illegibile) a +4 (svolgimento completo e corretto)

Voto e verbalizzazione: Il voto finale è dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nelle parti della prova. I punteggi superiori a 30/30 saranno registrati come 30/30 e lode su Almaesami.

Al termine della correzione delle prove scritte, viene fissato un apposito ricevimento studenti per la visione dei compiti e, al termine di tale ricevimento, la Commissione procede a verbalizzare tutti i voti validi.

Per rifiutare il voto è sufficiente inviare una e-mail alla docente dalla propria casella di posta studio.unibo.it oppure comunicarlo verbalmente il giorno stesso della visione compiti.

I testi tipo di alcune prove d'esame sono distribuiti e lezione e pubblicati su Virtuale.

Strumenti a supporto della didattica

Nel caso le lezioni si svolgano in modalità mista, saranno rese disponibili sulla piattaforma IOL gli screen-shot delle lezioni e le eventuali registrazioni delle stesse. Questi strumenti sono di ausilio e non sostituiscono il lavoro attivo di ciascun studente nel seguire le lezioni e prepararsi all'esame in autonomia.

Si incoraggia gli studenti a prendere appunti mentre seguono le lezioni, a rivederli e studiarli di volta in volta, a integrarli confrontandoli con libri di testo, a svolgere esercizi in autonomia.

Gli studenti sono fortemente incoraggiati a porre domande ai docenti durante le lezioni oltre che nei ricevimenti studenti. Infatti il principale supporto alla didattica è la partecipazione attiva alle lezioni da parte degli studenti sia che queste si svolgano in presenza che on-line.

 

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Simonetta Abenda

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