27210 - ANALISI MATEMATICA 1

Conoscenze e abilità da conseguire

Conoscere gli aspetti metodologico-operativi dell'analisi Matematica e alcune sue applicazioni, con particolare riguardo alle funzioni di una variabile.

Contenuti

PROPRIETA' DEI NUMERI REALI.
LIMITI E CONTINUITÀ. Definizione di successione di numeri reali convergente e divergente. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teoremi di confronto, dei due carabinieri. L'algebra dei limiti. Successioni monotone e loro limiti. Il numero e. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Richiami sulle funzioni: composizione di funzioni, funzioni invertibili e funzioni inverse. Generalita' sulle funzioni reali di una variabile reale. Definizione di funzione continua di una variabile reale. I teoremi di Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi. Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale; estensione dei risultati stabiliti per le successioni.  Continuità della composizione di due funzioni continue e il teorema di cambiamento di variabile nei limiti. Limiti da destra e da sinistra. Funzioni monotone e loro limiti. Asintoti. Le funzioni circolari inverse. Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Il calcolo delle derivate. I teoremi del valor medio e loro applicazione allo studio della monotonia di una funzione. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto nella forma di Peano e in quella di Lagrange. Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Funzioni convesse.
CALCOLO INTEGRALE. Definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Condizioni sufficienti di integrabilita'. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. I teoremi di integrazione per sostituzione e di integrazione per parti. Funzioni continue a tratti e proprieta' dei loro integrali. Integrali generalizzati: definizioni, convergenza assoluta, criterio del confronto.
NUMERI COMPLESSI. Definizione e operazioni sui numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso, modulo e argomento di un numero complesso, forma esponenziale di un numero complesso. Formula di de Moivre, radici di un numero complesso, equazioni algebriche in C, la funzione esponenziale complessa.
SERIE. Serie a termini reali e complessi. Definizione di serie convergente. Convergenza assoluta di una serie. Criteri di convergenza per le serie numeriche.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI. Equazioni differenziali lineari del primo ordine: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee, il problema di Cauchy. Estensione al caso di equazioni a coefficienti variabili e di ordine qualunque.

Testi/Bibliografia

Consigliati:

G.C. Barozzi, G. Dore, E. Obrecht: Elementi di Analisi Matematica, vol. 1, Zanichelli (2009)

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Prova scritta e prova orale, da sostenere entro lo stesso appello d'esame. La prova scritta può essere sostenuta nella forma di due prove scritte parziali "in itinere" o di una prova scritta complessiva.

Strumenti a supporto della didattica

Note del corso, esercizi e temi d'esame svolti in

http://www.dm.unibo.it/~arcozzi/

oltre a link ad altre risorse in rete.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~arcozzi/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Nicola Arcozzi