27993 - ANALISI MATEMATICA T-2

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di più variabili.

Contenuti

LO SPAZIO EUCLIDEO R^n. La struttura di spazio vettoriale, prodotto scalare e norma euclidea. Sottoinsiemi di R^n aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.
LIMITI, CONTINUITÀ E CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Funzioni reali e vettoriali di più variabili reali: generalità. Definizione di funzione continua e di limite. I teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi per funzioni di più variabili. Definizione di derivata parziale e di derivata direzionale. Funzioni differenziabili e funzioni di classe C^1; il differenziale e la matrice jacobiana. Il teorema sulla differenziabiltà di una funzione composta. Derivate parziali di ordine superiore. Formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili. Estremanti relativi per funzioni reali di più variabili reali liberi e vincolati.
INTEGRALE MULTIPLO. Definizione di integrale doppio di Riemann per funzioni definite su di un rettangolo compatto. Proprietà dell'integrale doppio. Estensione al caso di domini più generali. I teoremi di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici. Il teorema di cambiamento di variabili. Integrali tripli: estensione delle definizioni e dei teoremi sugli integrali doppi. Cenni sugli integrali doppi generalizzati.
INTEGRALI CURVILINEI E DI SUPERFICIE. Curve regolari e regolari a tratti, lunghezza di una curva, integrale di una funzione su di una curva. L'integrale di un campo vettoriale su di una curva orientata. Campi vettoriali conservativi e loro potenziali. Il teorema di Green-Gauss. Superficie regolari e regolari a tratti in R^3, area di una superficie, integrale di una funzione su di una superficie.  Flusso di un campo vettoriale attarverso una superficie orientata. I teoremi della divergenza e di Stokes.
SERIE DI FUNZIONI E INTEGRALI DIPENDENTI DA UN PARAMETRO. Generalità sulle serie di funzioni.  Serie di potenze in R e in C: lemma di Abel, raggio di convergenza, proprietà della somma di una serie di potenze, funzioni analitiche reali e complesse. Serie di Fourier in forma reale e complessa, proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel. Criteri di convergenza puntuale delle serie di Fourier. Cenni sulla convergenza in media e sulla uguaglianza di Parseval. Integrali (anche generalizzati) dipendenti da un parametro. Continuità e derivabilità degli integrali dipendenti da un parametro. Esempi di integrali dipendenti da un parametro: le trasformate integrali.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi differenziali. Teoremi di esistenza, unicità, prolungabilità e dipendenza  continua dai dati delle soluzioni. Equazioni differenziali lineari risolubili per serie. Alcuni problemi ai limiti per equazioni differenziali lineari del II ordine.

Metodi didattici

Lezioni ed esrcitazioni in aula.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame scritto e orale. La prova scritta può essere sostituita da due prove scritte parziali.

Link ad altre eventuali informazioni

http://www.dm.unibo.it/~obrecht/

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Enrico Obrecht