28357 - ALGEBRA 1 (M-Z)

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente ha acquisito familiarità con nozioni quali quelle di relazione di equivalenza, cardinalità, gruppo, sottogruppo normale. Conosce i gruppi ciclici, simmetrici, diedrali ed altre famiglie di gruppi; sa stabilire se due gruppi siano tra loro isomorfi. E' capace di applicare in modo autonomo tali conoscenze per dimostrare enunciati algebrici con un linguaggio rigoroso.

Contenuti

Operazioni tra insiemi; insieme delle parti e prodotto cartesiano, loro cardinalità. Relazioni, relazioni d'equivalenza; relazioni d'ordine totale e parziale, loro diagramma di Hasse. Esempi: divisibilità e congruenza tra numeri interi. Classi di equivalenza, insieme quoziente. Esempio: Z/n. Partizioni di un insieme, legami con le relazioni di equivalenza. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; esempi; composizione di funzioni e loro inversa; relazione d'equivalenza sul dominio di una funzione e biezione tra l'insieme quoziente associato e l'immagine della funzione.

Assiomi di Peano per i numeri naturali; principio di induzione. Esempi di dimostrazione per induzione. Costruzione dei numeri interi, razionali, cenni alla costruzione dei numeri reali. Costruzione dei numeri complessi, cenni al teorema fondamentale dell'algebra; inverso di un numero complesso. Definizione di somma e prodotto su Z/n; esempi. Nozione di anello, campo, dominio di integrità: esempi. Applicazioni delle congruenze. Criteri di divisibilità per 3, 9, 11; criteri di divisibilità per 2,5,10 e loro potenze. Scrittura di un numero in altre basi, criteri di divisibilità in altre basi. Introduzione alla combinatoria: numero di applicazioni e numero di applicazioni iniettive (o biunivoche) tra due insiemi finiti. Coefficienti binomiali, loro proprietà e loro interpretazioni combinatorie: sottoinsiemi di cardinalità data, binomio di Newton, partizione di un intero positivo in interi positivi, cammini di lunghezza minima su una griglia.

Nozione di "avere la stessa cardinalita'" e "avere cardinalita' inferiore o uguale" tra insiemi infiniti. Se esistono applicazioni iniettive da A a B e da B ad A, allora esiste una biezione tra A e B (la dimostrazione non fa parte del programma d'esame). Insiemi numerabili. Il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili e' numerabile; l'unione di una infinita' numerabile di insiemi numerabili e' numerabile; Z, Q, Z^n, Q^n sono numerabili; l'insieme delle parole di lunghezza finita su un alfabeto numerabile è numerabile. Insieme di Cantor. Nessun insieme e' in biezione con il proprio insieme delle parti; L'insieme delle successioni binarie non e' numerabile; l'insieme delle parti dei numeri naturali non e' numerabile (seconda dimostrazione); l'insieme di Cantor non è numerabile. L'intervallo aperto ]0,1[ è in biezione con l'insieme delle successioni binarie, e dunque non è numerabile. L'insieme dei numeri reali R non è numerabile. R è in biezione con R^2.

Numeri primi e numeri irriducibili; i primi sono irriducibili. La divisione con resto in Z. MCD tra due numeri interi e sua esistenza. Algoritmo di Euclide, identità di Bèzout; esempi. Equazioni diofantee. Gli irriducibili sono primi. Una classe [a] è invertibile in Z/n se e solo se MCD(a,n)=1; dunque Z/n è un campo se e solo se n è primo. Esempio di calcolo dell'inversa. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Infinità di numeri primi. Piccolo teorema di Fermat; un altro modo per trovare l'inversa di una classe in Z/p.

Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero e sue proprietà. Teorema di Eulero. Risoluzione di congruenze lineari; esempi. Sistemi di congruenze lineari: esistenza e "unicità" delle soluzioni; risoluzione tramite identità di Bézout. Generalizzazione del piccolo teorema di Fermat agli interi liberi da quadrati. Introduzione alla crittografia. Il metodo RSA. Esempi.

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Definizione di gruppo; gruppi commutativi e non commutativi. Esempi e controesempi di gruppi rispetto a somma, prodotto e composizione. Il gruppo delle biezioni di un insieme con stesso. Il gruppo degli invertibili di Zn e il gruppo GL(V) degli isomorfismi di uno spazio vettoriale con sé stesso. Leggi di cancellazione, unicità dell'elemento neutro e degli inversi. Sottogruppi: esempi e proprietà. Ordine di un elemento; esempi. Omomorfismi di gruppi e loro propietà. Esempi: funzione esponenziale da R a R*, e da Z a C_4={i,-1,-i,1}. Legame con campi, spazi vettoriali, sottospazi, applicazioni lineari. Nucleo e immagine di un omomorfismo, loro proprietà. Isomorfismi di gruppi; esempi e controesempi. Essere isomorfi è una relazione di equivalenza; gruppo Aut(G) degli automorfismi di un gruppo. II gruppo R_n delle rotazioni di angoli multipli di 360/n. Il gruppo K_4 delle simmetrie di un rettangolo.

L'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme; esempi di gruppi generati da n elementi e da infiniti elementi. Gruppi ciclici; loro classificazione. Classificazione dei sottogruppi di Z e di Z/n; ordine degli elementi di Z e Z/n. Prodotto diretto di gruppi. La biezione del teorema cinese del resto è un isomorfismo. Se f: G-->H è un omomorfismo, l'ordine di ogni g in G e' divisibile per l'ordine di f(g); se f è un isomorfismo, l'ordine di ogni g in G è uguale all'ordine di f(g); esempi. Omomorfismi da un gruppo ciclico a un gruppo qualsiasi. I gruppi diedrali: rotazioni e simmetrie. Generatori; prodotto di due elementi qualsiasi del gruppo diedrale. Immersione del gruppo diedrale nel gruppo simmetrico. Teorema di Cayley; esempi.

Gruppo simmetrico. Orbite e cicli di una permutazione. Fattorizzazione di una permutazione nel prodotto di cicli disgiunti; conseguente notazione per gli elementi del gruppo simmetrico. Ordine di una permutazione.
Ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Ogni trasposizione è prodotto di trasposizioni semplici, e quindi il gruppo simmetrico è generato dalle trasposizioni semplici. Un altro insieme di generatori per il gruppo simmetrico. Simplessi; il gruppo del tetraedro è S4, il gruppo del simplesso è Sn. Esempi.

Permutazioni pari e dispari, teorema: una permutazione non può essere sia pari che dispari. Segno di una permutazione. Sottogruppo delle permutazioni pari, esempi. Coniugio e sue proprietà; essere coniugati è una relazione di equivalenza. Coniugio nel gruppo diedrale.Coniugio nel gruppo simmetrico; partizioni; due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Classi di coniugio e partizioni di un numero naturale. Esempio: strutture cicliche in S3 e S4, loro cardinalità, ordine e segno.

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Laterali sinistri e destri di un sottogruppo, esempi. I laterali formano una partizione, e ciascuno ha la stessa cardinalità del sottogruppo. Indice di un sottogruppo; teorema di Lagrange; sue applicazioni: l'ordine di un elemento divide la cardinalità del gruppo, ogni gruppo di cardinalità un primo è ciclico, teorema di Eulero. Esempi in cui laterali destri e sinistri coincidono o non coincidono; sottogruppi normali. Centro di un gruppo e sue proprietà.

Un sottogruppo è normale se e solo se è unione di classi coniugate. Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo normale. x e y appartengono allo stesso laterale di N se e solo se xy^-1 appartiene ad N. Relazioni compatibili: corrispondenza tra relazioni compatibili e sottogruppi normali. Se un sottogruppo e' normale allora l'insieme dei suoi laterali sinistri forma un gruppo (detto gruppo quoziente), e la proiezione su tale quoziente e' un omomorfismo. Esempi di gruppi quoziente.
Teorema fondamentale di omomorfismo; esempi e applicazioni. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi; esempi. Gruppo dei movimenti rigidi della retta che fissano gli interi. Dato un gruppo G ed un sottogruppo normale N, descrizione dei sottogruppi di G che contengono N. Esercizio: dato un gruppo G e due sottogruppi normali contenuti l'uno nell'altro, descrizione dei quozienti.

Azioni di un gruppo su un insieme. Esempi: azioni del gruppo simmetrico S_n sui polinomi in n variabili e su K^n; azioni del gruppo diedrale D_n sui vertici dell'n-gono regolare e sulle diagonali; azioni per moltiplicazione sinistra di un gruppo G su sé stesso e sull'insieme dei laterali sinistri di un proprio sottogruppo; azioni per coniugio di un gruppo G su é stesso e sull'insieme dei propri sottogruppi. Orbite e stabilizzatori: definizione, proprietà, esempi. Centralizzatore di un elemento e normalizzatore di un sottogruppo.
Biezione tra gli elementi di un'orbita e i laterali dello stabilizzatore; formula delle orbite e formula delle classi; esempi.

Se un gruppo ha ordine p^n allora il suo centro non è banale. Se un gruppo ha ordine p^2 allora è commutativo. Sottogruppi di Sylow, esempi: le matrici triangolari unipotenti su Z/p. Teorema di Cauchy. Teoremi di Sylow: i p-sottogruppi di Sylow esistono, sono tra loro coniugati, ed il loro numero soddisfa condizioni di divisibilità e congruenza. Se c'è un unico p-sottogruppo di Sylow allora è normale. Esempi e applicazioni. Cenni ai gruppi dei poliedri regolari. Cenni ai gruppi delle tassellazioni.

Testi/Bibliografia

Il testo consigliato è

G. M. Piacentini Cattaneo: ALGEBRA, un approccio algoritmico,

Zanichelli, 1996.

Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in classe. Compiti per casa assegnati settimanalmente, corretti dai tutor e risolti alla lavagna dai docenti.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame ha lo scopo di verificare il raggiungimento dei seguenti obiettivi: conoscenza approfondita dei concetti di algebra presentati durante il corso; capacità di utilizzare gli strumenti forniti per risolvere un problema algebrico. 

La prova d'esame è costituita da un prova scritta e da una prova orale. Per partecipare a ciascuna prova è necessaria l'iscrizione al relativo appello sul sito AlmaEsami. Si ricorda che durante fli esami è necessario esibire il badge universitario o altro documento di riconoscimento.

La prova scritta prevede la risoluzione di esercizi e di problemi e mira a valutare la capacità dello studente di saper applicare gli strumenti teorici forniti. Durante la prova scritta non è ammesso l'uso di libri o appunti né di calcolatrici o cellulari, e non è consentito comunicare con altre persone verbalmente o tramite messaggi di qualunque tipo.

La valutazione dello scritto è in trentesimi e prevede una votazione minima di 15/30 per essere ammessi alla prova orale. I risultati vengono inseriti sul sito AlmaEsami.

La prova orale verte a verificare la conoscenza teorica della materia, la proprietà di linguaggio e la capacità di sostenere una discussione sugli argomenti del corso. La valutazione finale terrà conto delle due prove nel loro complesso e la relativa verbalizzazione viene effettuata al termine della prova orale.

Sono previsti cinque appelli nell'arco dell'anno accademico: due nella sessione invernale Gennaio-Febbraio, due nella sessione estiva Giugno-Luglio e una nella sessione autunnale di Settembre. Le loro date esatte saranno disponibili sul sito AlmaEsami con ampio anticipo.

Strumenti a supporto della didattica

Lezioni, esercizi per casa, ore di ricevimento

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Luca Moci

Consulta il sito web di Francesco Meazzini

Consulta il sito web di Enrico Fatighenti