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06689 - ALGEBRA COMMUTATIVA

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2022/2023

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso lo studente acquisisce i fondamenti della teoria dei moduli finitamente generati, sa riconoscere moduli iniettivi e proiettivi e ha appreso gli elementi basilari relativi alla localizzazione di anelli e moduli. Egli è in grado di applicare le nozioni acquisite per la risoluzione di problemi e la costruzione di dimostrazioni.

Contenuti

Anelli commutativi unitari, ideali, omomorfismi, anelli quoziente. Domini d’integrità, zero divisori, elementi nilpotenti, campi. Ideali primi e ideali massimali. Anelli locali e la loro caratterizzazione. Operazioni su ideali.

Moduli, sottomoduli e loro operazioni. Successioni esatte di moduli, lemma del serpente. Moduli proiettivi ed iniettivi. Moduli finitamente generati, moduli liberi. Lemma di Nakayama.

Anelli di frazioni e localizzazioni. Decomposizione primaria di ideali.

Elementi interi, estensioni intere di anelli e chiusura integrale.

Condizioni sulle catene, anelli e moduli artiniani e noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Lemma di Normalizzazione e Nullstellensatz.

Domini di Dedekind.

Testi/Bibliografia

M.F.Atiyah - I.G.Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts, 1969.

D.G.Northcott: Ideal Theory Cambridge University Press, Cambridge 1953

D.Cox - J.Little - D.O'Shea: Ideals, Varieties and Algorithms. 4th Ed. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Verlag, New York 2007

Altman, Allen & Kleiman, Steven. (2013). A term of Commutative Algebra (https://www.mi.fu-berlin.de/en/math/groups/arithmetic_geometry/teaching/exercises/Altman_-Kleiman---A-term-of-commutative-algebra-_2017_.pdf).

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni; lavori di gruppo. A lezione saranno distribuiti fogli di esercizi, in aggiunta a quelli reperibili sui libri di testo.

Nell'orario di ricevimento gli studenti possono essere seguiti in modo personalizzato.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale che partirà dalla discussione di fogli di esercizi assegnati durante il corso e la cui soluzione è da consegnare almeno una settimana prima della prova orale. Per la soluzione di alcuni esercizi è possibile utilizzare software per il calcolo simbolico, quale per esempio CoCoA o Singular o altro software disponibile in laboratorio.

Flessibilità sulle date degli esami.

Strumenti a supporto della didattica

Lavagna tradizionale, fotocopie, proiettore. Software di calcolo algebrico simbolico.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Roberto Pagaria

Consulta il sito web di Mirella Manaresi