96759 - REPRESENTATION THEORY

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

At the end of the course, the student knows the fundamental notions of finite-dimensional Lie algebras and their representation theory. The student is able to handle the main tools of this theory that can be used to construct mathematical models.

Contenuti

Le algebre di Lie sono strutture algebriche affascinanti e ricche di applicazioni alla geometria e alla fisica matematica. In questo corso studieremo le algebre di Lie di dimensione finita.

Dopo aver descritto alcune classi basilari di algebre di Lie (come quelle nilpotenti e quelle risolubili), ci focalizzeremo sulla classe delle algebre di Lie semisemplici. Di tali algebre descriveremo la struttura, la classificazione ed infine la teoria delle rappresentazioni.

In particolare introdurremo le nozione fondamentale di sistema di radici, ed insieme studieremo una particolare classe di gruppi finiti generati da riflessioni detti gruppi di Weyl. Vedremo come tali oggetti, di natura combinatorica, permettono di classificare le algebre di Lie semisemplici e le loro rappresentazioni irriducibili.

Esercizi ed esempi concreti saranno proposti per guidare il processo di apprendimento.

Il corso non prevede nessun particolare prerequisito, a parte una buona conoscenza dell'algebra lineare.

Gli studenti interessati alla teoria delle rappresentazioni in generale sono invitati a seguire anche il corso di Combinatoria Algebrica (96730), che si svolgerà in contemporanea, e che quest'anno tratterà la teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti e dei gruppi simmetrici.

Gli studenti interessati negli aspetti combinatorici del corso, potranno approfondire ulteriormente tali aspetti nel corso Teoria dei Gruppi (09346), che sarà attivo l'anno prossimo e che tratterà dei gruppi di Coxeter.

Testi/Bibliografia

Il testo di riferimento fondamentale di questo corso è

  • J. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, terza edizione, Springer, 1990.

Un altro riferimento utile (leggermente più elementare del precedente, ma che non copre la teoria delle rappresentazioni) è

  • K. Erdmann, M.J. Wildon: Introduction to Lie algebras, Springer, 2006.

Metodi didattici

Ogni settimana, 4 ore di lezione frontale di teoria e un'ora di esercizi (da discutere insieme agli studenti).

Settimanalmente sarà distribuito un foglio di esercizi. Il lavoro che lo studente dedicherà alla risoluzione di tali esercizi sarà fondamentale per la comprensione della teoria.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Esame orale

Strumenti a supporto della didattica

Il materiale del corso sarà caricato sulla pagina

http://www.dm.unibo.it/~jacopo.gandini/rep_2122.html

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Jacopo Gandini