29228 - GEOMETRIA E ALGEBRA T

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire i concetti di base dell'algebra lineare e la conoscenza dei più semplici procedimenti di calcolo che ne derivano; descriverne le prime applicazioni allo studio dei sistemi lineari ed alla geometria analitica del piano, dello spazio e delle equazioni differenziali lineari.

Contenuti

Il corso si articola in 30 lezioni da 2 ore, suddivise nelle 12 unità didattiche sotto descritte. Verranno dedicate 2 lezioni a ciascuna unità, tranne le unità 7, 8 e 11 a cui verranno dedicate tre lezioni ciascuna. Verranno inoltre svolte tre lezioni di ripasso ed esercizi, rispettivamente dopo la conclusione delle unità 3, 6 e 10.

  1. Richiami sugli insiemi. Relazioni di equivalenza. Applicazioni; applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche; composizione di applicazioni, applicazione inversa. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Spazi vettoriali e loro sottospazi. Esempi: n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo, funzioni a valori in un campo. Controesempi: curve, reticoli, coni, unione di sottospazi. L'intersezione di sottospazi è un sottospazio.
  2. Combinazioni lineari, sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi generatori e insiemi linearmente indipendenti. Basi. Un insieme di vettori è una base se e solo se ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei suoi elementi. Coordinate di un vettore in una base data. Completare a una base, estrarre una base.
  3. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità. Dimensione. Basi canoniche per gli esempi precedenti (n-ple di elementi di un campo, polinomi a coefficienti in un campo). Somma di sottospazi, somma diretta, formula di Grassmann (senza dimostrazione). Due modi di descrivere un sottospazio vettoriale: forma parametrica e forma cartesiana; legami con la dimensione.
  4. Applicazioni lineari; esempi. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi dati. La composizione di applicazioni lineari è lineare, l'inversa di un'applicazione lineare è lineare. Nucleo e immagine di una applicazione lineare; il nucleo e l'immagine sono sottospazi. Legame con l'iniettività e la suriettività; isomorfismi. Teorema del rango con dimostrazione.
  5. Esiste una e una sola applicazione lineare che prende valori dati su una base data. Matrice di un'applicazione lineare in basi date; isomorfismi non canonici tra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali dati e lo spazio vettoriale delle matrici m x n. La matrice della composizione di due applicazioni è il "prodotto riga per colonna" delle due matrici corrispondenti (con dimostrazione). Una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se manda basi in basi. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione n su un campo dato sono isomorfi tra loro.
  6. Matrice identità, matrici invertibili. Una matrice quadrata è invertibile se e solo se i suoi vettori colonna sono linearmente indipendenti; rango di una matrice. Cambiamenti di base. Similitudine; due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare. Determinante di una matrice quadrata: definizione ricorsiva e sue proprietà (senza dimostrazione). Formula per la matrice inversa di una matrice data. Matrici quadrate che rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse hanno lo stesso determinante; determinante di una applicazione lineare.
  7. Soluzione di sistemi n×n mediante inversione della matrice dei coefficienti ("metodo di Cramer"). Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio vettoriale. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se non è vuoto, è il traslato di un sottospazio di dimensione n-rk(A). Teorema di Rouché-Capelli con dimostrazione. Applicazioni alla geometria: rette e piani passanti per punti dati; intersezioni di rette e di piani; parallelismo, ortogonalità; rette sghembe, incidenti, parallele, fascio di piani per una retta. Esempi ed esercizi.
  8. Matrici diagonali e loro proprietà. Autovalori e autovettori di una applicazione lineare. Polinomio caratteristico; esempi di applicazioni lineari che non hanno autovalori nel campo razionale o nel campo reale. Autospazi. Basi di autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica. Una applicazione è diagonalizzabile su un campo dato se e solo se tutti gli autovalori appartengono al campo e la molteplicità algebrica di ciascun autovalore è uguale alla sua molteplicità geometrica. Applicazioni nilpotenti; una applicazione lineare nilpotente non nulla non è diagonalizzabile. Teorema di Cayley-Hamilton (con dimostrazione).
  9. Forme bilineari. Prodotti scalari, forme definite positive, negative, indefinite; spazi vettoriali euclidei e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare (con dimostrazione). Angolo convesso tra due vettori. Norma di un vettore e sue proprietà. Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali. Una base è ortonormale se e solo se la matrice del cambiamento di base, rispetto ad una base ortonormale data, e' ortogonale. Un insieme ortogonale di vettori è linearmente indipendente. Sottospazio ortogonale a un sottospazio dato. Esistenza di basi ortonormali per spazi euclidei (con dimostrazione). 
  10. Biezione tra forme bilineari e matrici (in una base data). Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, matrici simmetriche e antisimmetriche. Congruenza tra matrici; due matrici sono congruenti se e solo se rappresentano la stessa forma bilineare. Teorema spettrale (senza dimostrazione) da cui segue: Per ogni forma bilineare simmetrica esiste una base diagonalizzante (ovvero ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale). 
  11. Classificazione delle forme bilineari simmetriche: forma normale di una forma bilineare reale; segnatura; teorema di Sylvester. Forme quadratiche reali definite positive e negative, semidefinite positive e negative, indefinite; loro segnatura.
  12. Isometrie di uno spazio vettoriale (rispetto ad un prodotto scalare dato). Una applicazione lineare è una isometria se e solo se conserva la norma di ogni vettore. Ogni isometria è un isomorfismo. Ogni isometria conserva gli angoli. Una base è ortonormale se e solo se la matrice del cambiamento di base, rispetto ad una base ortonormale data, e' ortogonale. Un'applicazione lineare è una isometria se e solo se manda basi ortonormali in basi ortonormali. Un'applicazione lineare è una isometria se e solo la sua matrice rispetto ad una qualunque base ortonormale è ortogonale. Determinante e autovalori di una isometria. Classificazione delle isometrie in dimensione 2: rotazioni e simmetrie.

Testi/Bibliografia

Libro di testo e materiale consigliato: 

  • Francesco Bottacin, Algebra Lineare e Geometria. Società editrice Esculapio,
  • Francesco Bottacin, Esercizi di Algebra Lineare e Geometria. Società editrice Esculapio,

da integrare con gli appunti del corso.

Fogli di esercizi sono disponibili sulla pagina Virtuale del corso.

Metodi didattici

Il corso consiste di 60 ore di didattica frontale, in modalità mista, durante le quali gli argomenti verranno presentati anche attraverso esempi, controesempi ed esercizi. Verrà spiegata agli studenti la soluzione di esercizi di vari livelli di difficoltà e verranno loro proposti esercizi da risolvere autonomamente. Verrà spiegata agli studenti la struttura di una dimostrazione attraverso alcuni teoremi di rilievo, seppure di contenuto elementare.

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

E' consigliato (ma non obbligatorio):

  • seguire con regolarità le lezioni,
  • svolgere e consegnare gli esercizi proposti,
  • svolgere moltissimi altri esercizi proposti dai libri di testo,
  • usufruire del ricevimento per chiarire eventuali dubbi.

L'esame consiste unicamente in una prova scritta. Lo studente dovrà risolvere 4 esercizi, articolati in diversi punti, che verteranno sui temi svolti durante il corso, e rispondere a 1 domanda di teoria.

Strumenti a supporto della didattica

A causa delle restrizioni legate alla pandemia, le lezioni del giovedì sono svolte telematicamente su Teams, quelle del lunedì e del mercoledì sono vengono svolte in presenza a Bologna (e anche trasmesse su Teams).

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Andrea Tobia Ricolfi