27991 - ANALISI MATEMATICA T-1

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Fornire una buona padronanza metodologica ed operativa degli aspetti istituzionali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile.

Contenuti

- Introduzione

Cenni di logica

Cenni di teoria degli insiemi.

Prodotto cartesiano. 

Definizione di funzione.

Numeri naturali, interi, razionali.

Maggioranti e minoranti. Massimi e minimi.

Estremo superiore e inferiore.

Numeri reali.

Cenni sulla cardinalità.

Intervalli aperti e chiusi.

Esempi ed esercizi.

- Numeri complessi

Unità immaginaria e definiziona algebrica di un numero complesso.

Somma e prodotto tra numeri complessi. Inverso per la somma. Coniugato, modulo, significato geometrico del modulo.

Inverso per il prodotto.

Disuguaglianza triangolare.

Formulazione trigonometrica di un numero complesso.

Formule di De Moivre. Funzione di eulero.

Teorema sulle radici di un numero complesso.

Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione).

Esempi e esercizi


- Successioni

Definizioni e proprietà. Definizione di limite.

Successioni convergenti, divergenti, indeterminate.

Sottosuccessioni. Unicità del limite.

L'algebra dei limiti.

Teorema della permanenza del segno.

Teorema del confronto e dei due carabinieri.

Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Successioni limitate. Proprietà e teoremi.

Infiniti e infinitesimi. Equivalenza asintotica e o-piccolo.

Successioni monotone. Esistenza del limite per successioni monotone.

Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Criterio del rapporto. Criterio della radice.
Teorema di Stoltz-Cesàro e i quattro criteri di Cesàro

Successioni di Cauchy. 

Esempi ed esercizi.

-Funzioni di variabile reale

 Generalità: definizione di funzione, di dominio e di codominio, funzioni iniettive e biettive. 

Funzione limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate, periodiche, pari, dispari. Monotonie.

Esempi, I: funzione potenza, funzione esponenziale, logaritmo, funzione parte intera, funzione parte frazionaria, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche iperboliche, funzioni definite a tratti.

Funzione composta e funzione inversa.

Teorema sulla invertibilità di una funzione monotona (senza dimostrazione).

Esempi, II: arcsin, arccos, arctg. 

Cenni di cardinalità: $\mathbb N$ e $\mathbb Q$ hanno la stessa cardinalità (che si chiama cardinalità {\em{numerabile}}), ma $\R$ no ($\R$ non è numerabile). 

Definizione di limite. Unicità del limite.

Limite destro e sinistro.

Teorema di collegamento: equivalenza fra le definizioni di limite per intorni e per successioni.

L'algebra dei limiti. Teoremi della permanenza del segno.

Teorema del confronto e dei due carabinieri.

Funzioni limitate e monotone. Limiti per funzioni monotone.

Funzioni continue. Definizioni ed esempi.

Prime proprietà delle funzioni continue.

Composizione di funzioni continue.

Teorema di Weierstrass.

Funzioni uniformemente continue. 

Proprietà elementari delle funzioni.

Esempi ed esercizi.

- Calcolo differenziale

Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione.

Caratterizzazione delle funzioni derivabili.

Relazione tra funzioni derivabili e funzioni continue.

Derivate di somme, prodotti e quozienti di funzioni derivabili.

Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa.

Derivata delle funzioni elementari.

Estremanti locali. Punti critici. Teorema di Fermat.

Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy.

Funzioni differenziabili su intervalli e monotonia.

Teorema di Darboux. Teorema di de l'Hôpital.

Derivate di ordine superiore.

Determinazione di estremanti o flessi mediante derivate successive.

Studio di grafici di funzioni.

Funzioni polinomiali e proprietà.

Formula di Taylor con resto di Peano.

Formula di Taylor con resto di Lagrange.

Polinomi di Taylor di funzioni elementari.

Funzioni convesse. Teoremi e caratterizzazioni.

Esempi ed esercizi.

- Calcolo integrale

Scomposizioni. Somme inferiori e superiori.

Definizioni e proprietà. Integrale inferiore e superiore.

Integrabilità secondo Riemann. Teorema di Riemann.

Proprietà delle funzioni integrabili.

Integrabilità di funzioni monotone, continue.

Teorema della media integrale. Funzione integrale e primitive.

Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Primitive di funzioni razionali.

Integrali generalizzati. Definizioni e proprietà.

Criteri del confronto. Convergenza assoluta.

Criteri di convergenza per funzioni a segno non costante.

Esempi ed esercizi.

- Serie numeriche

Somme parziali. Definizioni e proprietà.

Serie telescopiche. Serie geometrica.

Criteri del confronto. Teorema di Cauchy.

Criterio della radice. Criterio del rapporto.

Criterio di condensazione di Cauchy.

Criterio integrale. Convergenza assoluta.

Criterio di Abel-Dirichlet. Criterio di Leibniz.

Esempi ed esercizi.

Testi/Bibliografia

- P.Marcellini, C.Sbordone. Elementi di Analisi Matematica Uno,
Liguori Editore.

- E.Giusti. Analisi matematica 1,
Bollati Boringhieri Editore.

- M.Bramanti, C.Pagani, S.Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare,
Zanichelli Editore.

- G.C.Barozzi, G.Dore, E.Obrecht, Elementi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.

- E.Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora.

- P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica - I vol.,
Liguori Editore

- E.Giusti. Esercizi e complementi di analisi matematica,
Bollati Boringhieri Editore.

- S.Salsa, A.Squellati. Esercizi di Analisi matematica Vol. 1,
Zanichelli Editore.


Metodi didattici

Lezioni ed esercitazioni in modalità mista aula-online secondo i decreti di ateneo relativi alla emergenza sanitaria in corso.


Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Ogni appello comprende prova scritta preliminare che, se superata,

 permette l'accesso alla prova orale finale.

Strumenti a supporto della didattica

Insegnamenti Online (IOL)

Orario di ricevimento

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