29690 - MECCANICA RAZIONALE T

Scheda insegnamento

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Al termine del corso, e dopo aver superato la prova di verifica finale, lo studente possiede le conoscenze fondamentali sulla modellizzazione fisico-matematica rigorosa dei sistemi meccanici partendo dalla meccanica newtoniana e giungendo allo schema lagrangiano-hamiltoniano della meccanica analitica. In particolare ha acquisito la capacità di costruire, confrontare ed utilizzare modelli matematici per sistemi meccanici con pochi gradi di libertà (quali punto materiale, corpo rigido, sistemi olonomi), di determinarne le proprietà di comportamento più rilevanti (sia in condizioni statiche che dinamiche) e di ricavarne corrette approssimazioni locali (linearizzazione).

Contenuti

Preliminari - Scopi e metodologie della Meccanica Razionale, cenni storici. Richiami sui vettori e sugli operatori lineari.

Cinematica del punto - Descrizione cinematica del moto di un punto, velocità ed accelerazione e loro varie rappresentazioni, moti piani in coordinate polari. Cenno sui moti centrali.

Cinematica dei sistemi - Vincoli e loro classificazione, sistemi olonomi ed anolonomi, gradi di libertà, coordinate generalizzate, spazio delle configurazioni, spostamenti possibili e virtuali di un sistema olonomo, vettore velocità di un sistema olonomo.

Cinematica del corpo rigido - Corpo rigido e vincolo di rigidità, riferimento solidale, velocità angolare e formule di Poisson, legge di distribuzione delle velocità, degli spostamenti e delle accelerazioni, derivata di un vettore solidale e teorema di derivazione relativa, angoli di Eulero, formule di Eulero, classificazione dei moti rigidi, punto di vista lagrangiano ed euleriano, atto di moto di un sistema rigido, classificazione degli atti di moto. Enunciato del teorema di Mozzi.

Cinematica dei moti relativi –Teorema (di Galileo) di composizione delle velocità e teorema (di Coriolis) di composizione delle accelerazioni. Composizione di velocità angolari. Rotolamento di due curve rigide, puro rotolamento e olonomia di tale vincolo.

Moti rigidi piani - Generalità, centro istantaneo di rotazione e proprietà ad esso connesse, traiettorie polari.

Vettori applicati - Momento polare ed assiale di un vettore applicato, sistemi di vettori applicati, risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati, legge di distribuzione dei momenti, coppie, trinomio invariante, asse centrale, operazioni elementari, sistemi riducibili e teoremi di riducibilità, alcuni sistemi ad invariante nullo, centro di un sistema di vettori applicati paralleli.

Geometria delle masse - Massa e densità, baricentro, teoremi relativi alle proprietà di ubicazione del baricentro. Momenti di inerzia, matrice di inerzia. Assi principali di inerzia e loro determinazione, ellissoide di inerzia.

Cinematica delle masse - Quantità di moto, momento della quantità di moto, energia cinetica, teorema del moto del baricentro, moto relativo al baricentro, primo e secondo teorema di König. Rappresentazione della quantità di moto, momento della quantità di moto ed energia cinetica di un corpo rigido, struttura della energia cinetica per un sistema olonomo.

Lavoro e Potenziale - Concetto di forza e lavoro, lavoro elementare reale e virtuale, lavoro di una forza lungo un cammino finito, forza conservativa e suo potenziale, lavoro di un sistema di forze, lavoro di un sistema di forze applicate ad un corpo rigido e ad un sistema olonomo.

I principi della meccanica – Breve introduzione storica ai principi della meccanica classica. Principio di inerzia, secondo principio della dinamica, principio di azione e reazione. Terne assolute e non-inerziali, principio di relatività di Galileo, teorema delle forze vive, principio di conservazione della energia, integrali primi del moto e loro uso in ambito meccanico. Reazioni vincolari, attrito coulombiano, vincoli privi di attrito, principio delle reazioni vincolari, vincoli ideali.

Dinamica e statica del punto e dei sistemi - Equazioni cardinali della dinamica. Definizione di quiete e di equilibrio. Equazioni cardinali della statica e loro necessità e sufficienza. Esempi di statica e dinamica del punto materiale (moto di un grave, oscillatore armonico, moto smorzato e forzato, pendolo semplice, forza peso come forza non-inerziale, deviazione dei gravi verso oriente ecc.) e del corpo rigido (corpo rigido con un punto fisso, con asse fisso, equilibrio di sistemi costituiti da più corpi rigidi, tecnica dello svincolamento).

Principio dei lavori virtuali -Teorema dei lavori virtuali con dimostrazione della sua necessarietà e sufficienza, equilibrio di un sistema olonomo e conservativo anche in presenza di vincoli unilaterali.

Meccanica analitica - Disuguaglianza variazionale della dinamica, principio di D’Alembert, equazioni di Lagrange, caso delle forze conservative (funzione lagrangiana), integrali primi del moto, coordinate cicliche.

Stabilità e piccole oscillazioni - Criterio di stabilità di Ljapunov, definizione statica di stabilità e studio del potenziale nelle configurazioni di equilibrio. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo ad n gradi di libertà, frequenze caratteristiche di oscillazione.

Testi/Bibliografia

P. BISCARI-T. RUGGERI-G. SACCOMANDI-M. VIANELLO, Meccanica Razionale per l’Ingegneria. Ed. Springer (2016);

Per quanto riguarda gli esercizi svolti a lezione e quelli propedeutici alla prova scritta si consiglia:

F. BRINI, A. MURACCHINI, T. RUGGERI, L. SECCIA, Esercizi e temi d’esame di Meccanica razionale. Ed. Esculapio-Bologna (2019).

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

La prova d'esame è articolata in due fasi: una prova scritta (tempo assegnato per la soluzione: 2 ore) e una successiva prova orale. Si accede alla prova orale solo se risulta superata la prova scritta. Se lo studente non supera la prova scritta, la può ripetere nella stessa sessione d'esame.

N.B.1. Le prove scritte superate restano valide all'interno di una sessione d'esami: nel caso che il candidato superi lo scritto e non si presenti all'orale nel corso della sessione, deve ripetere la prova scritta nella sessione successiva.
N.B.2. Durante lo svolgimento della prova scritta è consentito l'uso di libri e appunti.

La prova scritta verte su un problema riguardante un sistema meccanico ad uno o due gradi di libertà di cui, solitamente, si chiede di esaminare equilibrio, stabilità e proprietà generali del moto. La valutazione “positiva” della prova scritta consiste in un giudizio (in ordine crescente: Gravemente insufficiente (GI), Insufficiente (I), Quasi sufficiente (QS), Sufficiente (S)); si accede all'orale con ognuna di queste valutazioni ma il voto finale dell'esame è, comunque, legato alla valutazione ottenuta nella prova scritta secondo queste regole: GI (voto massimo 22), I (voto massimo 24), QS (voto massimo 26), S (voto massimo da 26 a 30).
La prova orale consiste nel rispondere, in forma scritta, a due domande di teoria (tempo assegnato 30 minuti). L' elaborato viene poi brevemente discusso insieme al docente. Al termine di questa prova si decide la valutazione finale che, ovviamente, tiene conto sia del risultato della prova scritta che di quella orale.

Periodi di svolgimento delle prove scritte

1) Tre prove scritte nella sessione invernale: dicembre, gennaio, febbraio.
2) Due prove scritte nella sessione estiva: giugno, luglio.
3) Una prova scritta nella prima decade del mese di settembre.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Augusto Muracchini