75602 - ANALISI NUMERICA E MODELLAZIONE GEOMETRICA T

Scheda insegnamento

SDGs

L'insegnamento contribuisce al perseguimento degli Obiettivi di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda 2030 dell'ONU.

Istruzione di qualità Partnership per gli obiettivi

Anno Accademico 2021/2022

Conoscenze e abilità da conseguire

Il corso si propone come obiettivo l'apprendimento dei fondamenti teorici, degli aspetti numerico-matematici e delle principali metodologie per la rappresentazione e manipolazione matematica di forme. Il percorso formativo prevede di fornire una base di algebra lineare numerica e un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio Euclideo bi/tridimensionale. Gli strumenti introdotti saranno applicati alla modellazione geometrica di curve, superfici e solidi, cuore dei sistemi di progettazione al calcolatore. Il corso prevede un’attività di laboratorio in cui si utilizzerà il software Matlab.

Contenuti

PRIMA PARTE (4 CFU) (Modulo 2)

1 - Algebra lineare e geometria analitica del piano e dello spazio

1.1 - Vettori geometrici ed operazioni su di essi; orientamento, aree e volumi con segno. Spazi vettoriali, combinazioni lineari. Descrizione algebrica delle relazioni geometriche fra vettori; sistemi di riferimento per vettori.

1.2 - Spazi vettoriali, indipendenza lineare, basi, coordinate, dimensione. Spazi vettoriali numerici Rn, riconoscimento di basi e calcolo di coordinate. Sistemi lineari di n equazioni in n incognite con un'unica soluzione. Determinanti, proprietà, regola di Cramer.

1.3 - Sistemi di riferimento e coordinate di punti e di vettori; compatibilità con le operazioni sui vettori; aree con segno, volumi con segno e determinanti. Nel piano: equazioni parametriche e cartesiane di rette; incidenza e parallelismo. Nello spazio: equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani; incidenza e parallelismo; rette sghembe.

1.4 - Lunghezza e ortogonalità, prodotto scalare di vettori; distanza fra punti; prodotto vettoriale. Sistemi di riferimento ortogonali monometrici; prodotto scalare e prodotto vettoriale in coordinate. Nel piano: proiezione ortogonale su una retta, distanza punto-retta. Nello spazio: proiezione ortogonale su un piano e su una retta, distanza punto-retta, punto-piano; segmento di minima distanza e distanza fra rette sghembe.

2 - Trasformazioni del piano e dello spazio

2.1 - Applicazioni affini del piano e dello spazio in sè ed applicazioni indotte sui vettori; compatibilità con operazioni; variazione di aree e volumi con segno. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali; costruzione di applicazioni lineari con dati valori su una base. Applicazione affine, applicazione lineare indotta, ricostruzione delle prima dalla seconda e dall'immagine di un punto.

2.2 - Applicazioni lineari fra spazi vettoriali Rn, operazione di composizione, applicazioni biiettive, applicazione inversa. Matrici, operazione prodotto riga per colonna, matrici invertibili, determinate e matrice inversa. Equivalenza fra l'algebra delle applicazioni lineari e l'algebra delle matrici.

2.3 - Rappresentazione di un'applicazione affine e della sua parte lineare rispetto a un sistema di riferimento; matrice della parte lineare, significato geometrico del determinante. Applicazioni affini del piano e dello spazio in sè: dilatazioni, proiezioni, riflessioni, scaling, shear, rotazioni. Rappresentazione rispetto a sistemi di riferimento opportuni e qualsiasi.

3 - Calcolo differenziale ed integrale di funzioni reali di una variabile reale (richiami)

Funzioni reali di una variabile reale; interpretazione cinematica; grafico; operazioni sulle funzioni; spazi vettoriali di funzioni. Funzioni polinomiali, razionali, trigonometriche, esponenziale e logaritmo. Continuità e sue implicazioni. Derivata di una funzione in un punto; velocità; retta tangente al grafico. Regole di derivazione. Integrale di Riemann di una funzione; definizione e calcolo di aree. Primitive di una funzione su un intervallo. Teorema fondamentale del calcolo.

 

SECONDA PARTE (5 CFU) (Modulo 1)

1- Elementi di geometria differenziale.

Curve 2D in forma parametrica, parametrizzazione. Derivata di una curva parametrica, curva regolare, lunghezza di una curva, vettore tangente e curvatura, vettore normale, continuita' geometrica e parametrica. Esempi di curve. Curve 3D in forma parametrica, curvatura e torsione. Frenet frame.

Superfici in forma parametrica regolari, piano tangente, vettore normale, curvature principali, curvatura media e curvatura Gaussiana. Generazione di superfici per trasformazione di curve parametriche.

2- Metodi numerici per la rappresentazione di curve e superfici e modellazione geometrica

2.1- Curve di Bézier.

Funzioni polinomiali nella base di Bernstein. Curve di Bézier e loro proprietà. Composizione di curve di Bézier. Curve di Bézier razionali. Coniche come razionali quadratiche.

2.2 - Curve spline

Spazio delle funzioni spline, base B-spline, costruzione di curve spline. Spline razionali (NURBS).

2.3 - Superfici

Definizione e costruzione di superfici di Bézier, spline e NURBS. Tecniche per la generazione di superfici NURBS da curve: skinning, estrusione, superfici rigate, sweeping.

3 - Interpolazione polinomiale e con curve parametriche

Interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti (spline). Problema di interpolazione di Lagrange ed Hermite. Costruzione di una polinomiale a tratti cubici di Bézier con continuità C1.

 

Testi/Bibliografia

PRIMA PARTE: il riferimento principale sono gli appunti ed esercizi del docente, pubblicati settimanalmente durante il corso su https://virtuale.unibo.it.
Per approfondimenti si consigliano i testi: S. Abeasis, Geometria analitica del piano e dello spazio, Zanichelli; G. Farin and D. Hansford, Practical linear algebra - a geometry toolbox, CRC Press

SECONDA PARTE: il riferimento è la dispensa del corso che verrà messa a disposizione ad inizio lezioni e gli esercizi svolti dal docente durante i laboratori. Il materiale didattico è scaricabile dalla piattaforma virtuale.unibo.it.

Metodi didattici

PRIMA PARTE: Lezioni frontali. Verranno assegnati settimanalmente degli esercizi, che saranno corretti da un tutor.

SECONDA PARTE: Lezioni frontali ed esercitazioni in laboratorio informatico. Le esercitazioni affiancano la parte teorica per stimolarne la comprensione. Per le esercitazioni verrà utilizzato il software Matlab. 

Modalità di verifica e valutazione dell'apprendimento

Per superare l'esame bisogna superare l'esame sulle singole parti; il voto d'esame è la media pesata dei voti delle singole parti.

PRIMA PARTE: L'esame consiste in una prova scritta e, solo su richiesta del docente o dello studente, da una prova orale. Sarà possibile effettuare le prove sia in presenza che in remoto. Informazioni dettagliate sui singoli appelli saranno inviate agli iscritti.

La prova scritta verte su esercizi del tipo di quelli assegnati durante il corso, dura 2h. Gli esercizi vanno svolti riportando e motivando i passaggi; spesso verrà chiesto di svolgerli in più modi o di verificare il risultato.

L'eventuale prova orale è cruciale per il superamento dell'esame e per il voto; verte sulla discussione dello scritto ed argomenti collegati, dura almeno 30'.

E' necessario presentarsi con il tesserino universitario.

SECONDA PARTE: La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta finale da svolgersi in laboratorio (oppure online) che consiste di tre esercizi sul modello di quelli visti durante il laboratorio e tre domande di teoria. Per superare l'esame occorre un punteggio minimo pari a 18, ottenuto sommando i punteggi relativi agli esercizi (o alle singole risposte) corretti. Come guida nella preparazione dell'esame, i temi d'esame del precedente anno accademico saranno messi a disposizione degli studenti iscritti al corso. 

Strumenti a supporto della didattica

Dispense, lucidi, esercizi.

Orario di ricevimento

Consulta il sito web di Carolina Vittoria Beccari

Consulta il sito web di Francesco Regonati